微分積分学概論AI要約 No.5

第5回目の主題 :

次の公理は実数の基本的な性質であった。

公理 5.1 (再掲)   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $A$ が上に有界ならば、 $A$ は上限を持つ。

定義 5.2   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $A$ に対して、その上限のことを $\sup(A)$ と書く。

補題 5.3   集合 $A$ の上限が $\alpha$ であることは、次の二条件が同時に成り立つことと 同値である。

1. $\forall x \in A \quad( x \leq \alpha)$.
2. $\forall \epsilon>0\exists x\in A (x> \alpha -\epsilon)$.

数列 $\{a_n\}$ を単なる集合と見てそれが有界かどうか、や その上限 $\{a_n\}$ を議論することができる。公理 5.1により、 上に有界な数列は 上限を持つことがわかる。

定義 5.4   実数列 $\{a_n\}$ が単調増加であるとは、

$$\forall n \forall m (n \geq m \implies a_n \geq a_m)$$

がなりたつときにいう。

もっと露骨に言えば $\{a_n\}$ が単調増加であるとは

$$a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq \dots$$

が成り立つということである。

補題 5.5   数列 $\{a_n\}$ を

$$a_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$$

で定義する。このとき

1. $\{a_n\}$ は単調増加である。
2. $\{a_n\}$ は有界である。

定義 5.6   上限

$$\sup \left\{ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\right\}_{n=1}^\infty$$

のことを自然対数の底とよび、$e$ と書く。 (注意:この定義は教科書のものとは少し異なる。が、結局は同じ値のもので あることが後に証明できる。)

定理 5.7   上に有界な単調増加数列はその上限に収束する。

問題 5.1  

$$a_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k^2}$$

で定義される数列 $\{a_n\}_{n=1}^\infty$ は上に有界であることを示しなさい。

ヒント: $k>1$ に対して、

$$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$$

に注意。

$A$	$\alpha$	alpha	アルファ	ギリシャ文字の表。 $\bullet$ 左から順に、大文字、小文字、英語での読み、日本語での読み方を書いた。 (ただし、「日本語での読み方」はだいたいの目安に過ぎない。) $\bullet$ $A, B,E$ など、通常のアルファベットと同じに見える文字は、 ふつうは数学では用いられない。 $\bullet$ 逆に、同じ読みでも二つ以上の文字がある場合、 数学では二つを区別し、それぞれ別の意味で用いる ことがある。
$B$	$\beta$	beta	ベータ
$\Gamma$	$\gamma$	gamma	ガンマ
$\Delta$	$\delta$	delta	デルタ
$E$	$\epsilon,\varepsilon$	epsilon	イプシロン
$Z$	$\zeta$	zeta	ゼータ
$H$	$\eta$	eta	エータ
$\Theta$	$\theta,\vartheta$	theta	シータ
$I$	$\iota$	iota	イオタ
$K$	$\kappa$	kappa	カッパ
$\Lambda$	$\lambda$	lambda	ラムダ
$M$	$\mu$	mu	ミュー
$N$	$\nu$	nu	ニュー
$\Xi$	$\xi$	xi	グザイ
$O$	$o$	omicron	オミクロン
$\Pi$	$\pi,\varpi$	pi	パイ
$P$	$\rho, \varrho$	rho	ロー
$\Sigma$	$\sigma, \varsigma$	sigma	シグマ
$T$	$\tau$	tau	タウ
$\Upsilon$	$\upsilon$	upsilon	ウプシロン
$\Phi$	$\phi$, $\varphi$	phi	ファイ
$X$	$\chi$	chi	カイ
$\Psi$	$\psi$	psi	プサイ
$\Omega$	$\omega$	omega	オメガ