環論 No.12要約

$\begin{itembox} % latex2html id marker 253 {素元の定義} 可換環 $R$\ の�... ...るなら $a$\ と $b$\ のどちらかは $p$\ で割れる。」 \end{itembox}$
参照:整域の定義(零因子を 0 以外にもたない)

$\begin{itembox}{既約元の定義} 可換環 $R$\ の元 $p$\ にたいし、 \... ...�解できない」(分解できたとしたら片方が可逆元) \end{itembox}$

命題 12.1 が素元分解環ならば、 $R\setminus \{0\}$ の各元は

$% latex2html id marker 803 $\displaystyle u p_1 p_2 \dots p_l \qquad(l \in \mathbb N, u\in R^\times , p_1,\dots,p_l$$ は $R$ の素元 $\displaystyle )$

と書くことができるが、この書き方は並び方と同伴を除いて一意的である。すなわち、

		$% latex2html id marker 805 $\displaystyle u p_1 p_2 \dots p_l =v q_1q_2 \dots q_m$$
		$% latex2html id marker 806 $\displaystyle (l,m \in \mathbb N, u,v\in R^\times , p_1,\dots,p_l,q_1,\dots,q_m$$ はの素元 $\displaystyle )$

ならば、であって、なおかつある置換 $\sigma\in \mathfrakS_l$ があって各にたいしてと $% latex2html id marker 819 $ q_{\sigma(j)}$$ はそれぞれ同伴になる。