ガウスの正 17 角形

土基善文

この文は 2000 年に行われた公開講座のレジメに少々の改変を加えたものです。「数学セミナー」の 2002 年 1 月号にはもう少し詳しい解説を書きましたので、そちらも併せて御覧ください。また、この題材についてさらに詳しく知りたい方は, 参考文献 [1],[2] を御参照ください.

◆1. 正 n 角形と 1 の n 乗根

二乗して −1 になる数として, 虚数単位 i をご存知の方も多いでしょうが, 4 乗して −1 になる数については, 初級段階で触れられることが少ないので, ここでちょっとだけ述べてみることにします.

X^{4} + 1 = 0

を解けばよいのです. これを

X^{4} + 1 = (X^{2} + 1)^{2} − 2X^{2} = (X^{2} + \sqrt{2}X + 1)(X^{2} − \sqrt{2}X + 1)

と因数分解してみると, 後は二次方程式を解くことに帰着されて,

X = \frac{±\sqrt{2} ± \sqrt{2}i}{2} (複号任意)

という具合になります. つまり, 4 乗して −1 になる数は存在します. (4 つもあります) これらは, 4 乗して 1 になる数と併せて正 8 角形の頂点をつくります.

一般に n 乗して 1 になる数は n 個あり, それらを順に結ぶと単位円に内接する正 n 角形ができます. n = 17 の場合には,

X^{17} − 1 = 0

の根全体が, 正 17 角形を作るわけです. この方程式の根のうち, 1 は自明ですから, それを省きましょう.

f(X) = \frac{X^{17} − 1}{X − 1} = X^{16}+X^{15}+X^{14}+X^{13}+X^{12}+X^{11}+X^{10}+X^{9}+X^{8}+X^{7}+X^{6}+X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1

f(X) = 0 の根は

ζ, ζ^{2}, ζ^{3}, ζ^{4}, ζ^{5}, ζ^{6}, ζ^{7}, ζ^{8}, ζ^{9}, ζ^{10}, ζ^{11}, ζ^{12}, ζ^{13}, ζ^{14}, ζ^{15}, ζ^{16}

です. ただし, ここで

ζ = cos(\frac{2π}{17} ) + i sin(\frac{2π}{17} ) (≒ 0.9324722294 + 0.3612416661i)

です. ガウスは三角関数をよく知っていたはずですし, 「喋れるようになる前から計算していた」と自ら語るだけの計算達者ですから, これらの値を手早く計算できたに違いないのですが, それで終らせはしませんでした. かれは 19 歳のとき, f(X) = 0 を代数的に解くことができることを発見したのです. それは上記の数値を求めたり, 正 17 角形の作図法をあたえる, ということが面白かったということもまあ多少はあったのでしょうが, 我々があとからいろいろなことを知った後でみてみると, 彼はむしろ方程式 (とその根) の構造そのものの美しさをみて喜んだとみるほうが妥当だと思われます.

上の 16 次方程式 f(X) = 0 の根は整数から始まって, 足し算, 引き算, かけ算, 平方根を用いて書くことができます. この仕組みを理解し, 美しさを味わうのが本文の目標です.

◆2. 初等的なアプローチ

2.1. 自己相反多項式

f(X) は、その係数が上から読んでも下から読んでも同じになっている ( 自己相反多項式) ので、 f(X)/X^{8} は X と 1/X の対称式になっていることが分かります. このことは, f(X)/X^{8} を Y = X + 1/X の多項式として書くことができることをしめしています.

f(X)/X^{8} = Y^{8} + Y^{7} − 7Y^{6} − 6Y^{5} + 15Y^{4} + 10Y^{3} − 10Y^{2} − 4Y + 1

(計算のときには, つぎのような補助計算をしておくとよいでしょう.

Y^{2} − 2 = X^{2} + 1/X^{2}
(Y^{2} − 2)^{2} − 2 = X^{4} + 1/X^{4}
((Y^{2} − 2)^{2} − 2)^{2} − 2 = X^{8} + 1/X^{8}

あとはこれらをたしていけばよいわけです. )

さて, このように置き換えてみると, f(X) = 0 を解くという問題は二つに分けて考えることができます. • Y^{8} + Y^{7} − 7Y^{6} − 6Y^{5} + 15Y^{4} + 10Y^{3} − 10Y^{2} − 4Y + 1 = 0 という 8 次方程式をとく.

• 上で求まった解 y について, y = x + 1/x を満たす x を求める. 二番目の問題は,

x^{2} − yx + 1 = 0

という二次方程式を解くことになるので,

x = \frac{y ± \sqrt{y^{2} − 4}}{2}

とすぐに求まります. そこで 8 次方程式を解くことに問題がしぼられるのですが, まだまだ道は遠そうですね.

2.2. 判別式

判別式の知識をつかうと, もう少し次数が下げられます. ただし, 本当に計算するのはかなり大変ですから, ここのところは, そんなものか, と読み流して頂ければ結構です.

f(X) = 0 の根 {α_{i}}_{i=1}^{16} の中から二つ α_{i}, α_{j} をとってきてその差 α_{i} − α_{j} をつくり, それをすべての組合せについて掛け合わせたもの

Δ = ∏_{i<j}(α_{i} − α_{j})

を 2 乗したもの Δ^{2} を, f の判別式と呼びます. Δ^{2} は根の対称式なので, {α} の基本対称式 (=f の係数) で書き表すことができます. (§§5.1 に求め方を書きました. 御参照ください.)

Δ^{2} = 17^{17}

今の場合 f(X) の根の一つを x とおくと, あとの根はそのベキ乗であらわされますから,

∏_{1≤i<j≤16}(x^{i} − x^{j}) = ±17^{8}\sqrt{17}

となることがわかります. この新しい方程式と, f(x) = 0 を組み合わせて, x の満たす方程式の次数を下げていくこと (ユークリッドの互除法) により, 次のような方程式を得ることができます.

x^{8} + x^{7} (−\frac{\sqrt{17}}{2} + 1/2) + x^{6} (−\frac{\sqrt{17}}{2} + 5/2) + x^{5} (−\frac{\sqrt{17}}{2} + 7/2)

+ x^{4} (−\sqrt{17} + 2) + x^{3} (−\frac{\sqrt{17}}{2} + 7/2) + x^{2} (−\frac{\sqrt{17}}{2} + 5/2) + x (−\frac{\sqrt{17}}{2} + 1/2) + 1

これも, 上から読んでも下から読んでも同じ式 (自己相反多項式) ですから, 前小節のやり方と同様にして, この多項式の根を求めることは 2 次方程式と 4 次方程式を解くことに帰着できます. 当時 4 次方程式の解き方は知られていましたから, これでどうにかこうにか f(X) = 0 が解けそうです。

ただし, これでは初等的には違いないけれども, 計算は大変です. ガウスはもっとずっと簡単な説明をもっていました.

◆3. 根をべき乗していくこと

x が f(X) = 0 の解ならば,

x, x^{2}, x^{3}, x^{4}, x^{5}, x^{6}, x^{7}, x^{8}, x^{9}, x^{10}, x^{11}, x^{12}, x^{13}, x^{14}, x^{15}, x^{16}

もそうです. いま, x を二乗していくと,

(★ 1)  x, x^{2}, x^{4}, x^{8}, x^{16}, x^{32} = x^{15}, x^{64} = x^{13}, x^{128} = x^{9}, x^{256} = x, …

あとは繰り返しになるので, 結局 8 つの根がえられます.

ここで現れない x^{3} を二乗していくと,

(★ 2)  x^{3}, x^{6}, x^{12}, x^{7}, x^{14}, x^{11}, x^{5}, x^{10}, x^{3} …

と, (★ 1) に現れない 8 つの根が現れます.

こんどは x を 3 乗していくと,

(◎)  x, x^{3}, x^{9}, x^{10}, x^{13}, x^{5}, x^{15}, x^{11}, x^{16}, x^{14}, x^{8}, x^{7}, x^{4}, x^{12}, x^{2}, x^{6}

と全部の根が得られることになります.

じつは, (◎) に並んでいるもののうち, 奇数番目に並んでいるものをとると, (★ 1) の全体に一致し, 偶数番目に並んでいるものをとると, (★ 2) の全体に一致することがわかります. 根を, このようにいくつかの組に分けること, これがまず第一のポイントです.

◆4. 平均をとる考え方

(◎) に並んでいる根を 2 つおき、 4 つおき,8 つおきにとります。そしてその「平均的な挙動」を調べてやることにしましょう。

普通の意味で平均と言えば例えば 8 つのものの平均は • 8 つを足して 8 で割る (相加平均)

• 8 つを掛けて 8 乗根をとる (相乗平均) などが考えられます。しかし, 8 で割ったり、 8 乗根をとらなくても、定性的な判断はできるはずです。もっと一般的に言って、対称式はそれぞれ「平均」としての役割を担うと考えることができます。

したがって、根のうち幾つかをとって来てその「対称式」を調べてやろう、というわけです。

4.1. 二分割

s_{1} = x + x^{2} + x^{4} + x^{8} + x^{9} + x^{13} + x^{15} + x^{16} (8,1)

s_{2} = x^{3} + x^{5} + x^{6} + x^{7} + x^{10} + x^{11} + x^{12} + x^{14} (8,3)

この二つは変換 x ↦ x^{2} によって不変です. (“(8,1)”,“(8,3)”) などの記号はガウスが [2] で用いていたものです. “(8,1)” は「 x^{1} から始めて 8 つで戻ってくるものを足したもの」という意味です。以下同様。 )

s_{1}, s_{2} は次の方程式を満たします.

(S)  s_{1} + s_{2} = −1, s_{1}s_{2} = −4

前の式についてはすぐに確かめられます. 後ろの式は単純に展開すると,

s_{1}s_{2} =x^{4} + x^{5} + x^{6} + 3x^{7} + 2x^{8} + 2x^{9} + x^{10} + 3x^{11} + 3x^{12}
+ 3x^{13} + 4x^{14} + 4x^{15} + 4x^{16} + 4x^{18} + 4x^{19} + 4x^{20} + 3x^{21} + 3x^{22}
+ 3x^{23} + x^{24} + 2x^{25} + 2x^{26} + 3x^{27} + x^{28} + x^{29} + x^{30}

となり, これに x^{17} = 1 を代入して整理すると,

s_{1}s_{2} = 4x + 4x^{2} + 4x^{3} + 4x^{4} + 4x^{5} + 4x^{6} + 4x^{7} + 4x^{8} + 4x^{9} + 4x^{10} + 4x^{11} + 4x^{12} + 4x^{13} + 4x^{14} + 4x^{15} + 4x^{16}

という式が得られます. さらに f(x) = 0 ということから s_{1}s_{2} = −4 が分かるわけです.

ともあれ, (S) 式から s_{1}, s_{2} は次のように解けることになります.

s_{1} = \frac{−1 ± \sqrt{17}}{2}, s_{2} = \frac{−1 ∓ \sqrt{17}}{2} (複号同順)

この複号のどちらを選べばよいかは, x が ζ^{k} のどれかによって変わってきます. x = ζ ならば, 数値計算により, s_{1} = 1.561552812... がわかるので, s_{1} の複号はプラスの方がとられることになります.

ζ^{2}, ζ^{4}, ζ^{8}, ζ^{16} = ζ^{−1}, ζ^{32} = ζ^{−2}, ζ^{−4}, ζ^{−8}

でもすべてプラス符号です.

s_{1}, s_{2} がこうやって求まってみると, (8,1),(8,3) という式は x の 16 次と 14 次の方程式を与えることになります. (あとの議論には必要のないことですが読者の興味のために述べておくと, この二つからユークリッドの互除法を用いて x の満たすできるだけ簡単な式を作ることにより, 先に判別式の節で述べたのとまったく同じ式が得られるということが分かります. )

4.2. 四分割

t_{1} = x + x^{4} + x^{13} + x^{16} (4,1)

t_{2} = x^{2} + x^{8} + x^{9} + x^{15} (4,9)

t_{3} = x^{3} + x^{5} + x^{12} + x^{14} (4,3)

t_{4} = x^{6} + x^{7} + x^{10} + x^{11} (4,10)

これらは変換 x ↦ x^{4} によって不変です.

t_{1} + t_{2} = s_{1}, t_{1}t_{2} = −1 (T1)

t_{3} + t_{4} = s_{2}, t_{3}t_{4} = −1 (T2)

(T1) 式から, 次のように t1 は s_{1}, s_{2} から求めることができます.

t_{1} = \frac{−s_{1} ± \sqrt{s_{1}^{2} + 4}}{2}

16(= 2^{4}) という数はうまい具合に

16 = 8 + 8 = (4 + 4) + (4 + 4) = ((2 + 2) + (2 + 2)) + ((2 + 2) + (2 + 2))

と次々に分割できて、

以下はこのような操作を繰り返して二次方程式を逐次解いていくことにより最終的に x が求まるということになります。

4.3. x の多項式の簡易化

x が方程式 f(x) = 0 をみたすとき, x の有理数係数の多項式 p(x) は 16 個の根

x, x^{2}, x^{3}, …, x^{16}

の有理数係数の和として書くことができます. それには次のような手順を踏めばよろしい.

(1) p(X) を X^{17} − 1 で割った余りを p_{1}(X) とおく. これには p に現れる X^{17} を随時 1 で置き換えればよい.

(2) p_{1}(X) の定数項 c に着目し, p_{2}(X) = p_{1}(X) − cf(X) とおく. このとき, p(x) = p_{1}(x) = p_{2}(x) であり, p_{2}(X) は X, X^{2}, …, X^{16} の有理数係数の和ですから, p_{2}(x) は所定の目的を果たしています.

たとえば, t_{1}t_{3} をこの方法で簡易化してみましょう.

t_{1}t_{3} = x^{4} + x^{6} + x^{7} + x^{9} + x^{13} + x^{15} + 2x^{16} + 2x^{18} + x^{19} + x^{21} + x^{25} + x^{27} + x^{28} + x^{30}

ステップ 1. で,

t_{1}t_{3} = 2x + x^{2} + 2x^{4} + x^{6} + x^{7} + x^{8} + x^{9} + x^{10} + x^{11} + 2x^{13} + x^{15} + 2x^{16}

定数項が 0 なので, ステップ 2 は必要なかったですね. このように簡易化しておくと,

t_{1}t_{3} = 2t_{1} + t_{2} + t_{4}

という等式が容易にみてとれます. これがこの簡易化の利点です.

ただし, この簡易化では定数項を 0 にしているぶん単に定数をあらわすときにはかえって面倒になります. たとえば,

t_{1}t_{2} = x + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5} + x^{6} + x^{7} + x^{8} + x^{9} + x^{10} + x^{11} + x^{12} + x^{13} + x^{14} + x^{15} + x^{16}

(本当は −1) のようなちょっとまどろっこしいことが起きていることにも注意が必要です.

4.4. 乗法

前小節のような簡易化をつかって比較的容易に t_{i}t_{j} の値を計算することができます. さらに, t_{4} = 1 − (t_{1} + t_{2} + t_{3}) という式をつかって t_{4} を消去してみると, t_{2}, t_{3}, t_{4} はいずれも t_{1} の三次式で書き表せることが次のようにしてわかります.

t_{1}^{2} = t_{2} + 2t_{3} + 4
t_{1}t_{2} = −1
t_{1}t_{3} = −t_{2} − 2t_{3} − t_{4} − 2
(t_{1}t_{4} = t_{2} + t_{3} + 2t_{4})

t_{1}^{2} = t_{2} + 2t_{3} + 4
t_{1}^{3} = t_{1}(t_{2} + 2t_{3} + 4) = −6t_{2} − 8t_{3} − 6t_{4} − 9 = −2t_{3} + 6t_{1} − 3

t_{3} を消去.

t_{1}^{2} + t_{1}^{3} = t_{2} + 6t_{1} + 1

t_{2} = t_{1}^{3} + t_{1}^{2} − 6t_{1} − 1

t_{3} = −\frac{t_{1}^{3} − 6t_{1} + 3}{2}

t_{1}^{4} = t_{1}(−2t_{3} + 6t_{1} − 3) = 11t_{2} + 19t_{3} + 5t_{4} + 31 = −t_{1}^{3} + 6t_{1}^{2} + t_{1} + 4

t_{1}^{4} + t_{1}^{3} − 6t_{1}^{2} − t_{1} − 4 = 0

4.5. 八分割

u_{1} = x + x^{16} (2,1)

u_{2} = x^{4} + x^{13} (2,13)

変換 x ↦ x^{4} によって不変.

u_{1} + u_{2} = t_{1}, u_{1}u_{2} = t_{3} = −\frac{t_{1}^{3} − 6t_{1} + 3}{2}

4.6. 十六分割

x + x^{16} = u_{1}, x · x^{16} = 1

変換 x ↦ x^{16}(= x^{−1}) によって不変. ここの部分は, x + 1/x = y とおいたところと同じことになっています.

6 土基善文

◆5. 付録 5.1. 判別式の求め方

f(X) = X^{n} − 1 の判別式を求めるには, まず,

∏_{i<j}(α_{i} − α_{j})^{2} = (−1)^{n(n−1)/2} ∏_{i≠j}(α_{i} − α_{j})

に注意し, ついで,

f(X) = ∏_{l}(X − α_{l})

の両辺を微分して X = α_{k} を代入することにより得られる式

f′(α_{k}) = ∏_{l≠k}(α_{k} − α_{l})

に注意する.

∏_{i≠j}(α_{i} − α_{j}) = ∏_{i}(f′(α_{i}))

= ∏_{i}(nα_{i}^{n−1})

= ∏_{i}(nζ^{(n−1)i})

= n^{n}ζ^{−n(n−1)/2}

= \begin{cases}n^{n} & n:奇数のとき \\ −n^{n} & n:偶数のとき \end{cases}

Δ^{2} = \begin{cases}n^{n} & n ≡ 1, 2(4): \\ −n^{n} & n ≡ 0, 3(4) \end{cases}

5.2. 行列式による t_{1} の方程式の導出 t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4} の対称性を崩さずに議論する.

t_{1} (\begin{matrix}t_{1} \\ t_{2} \\ t_{3} \\ t_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix}−4 & −3 & −2 & −4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix}t_{1} \\ t_{2} \\ t_{3} \\ t_{4} \end{matrix})

◆6. 参考文献

[1] 高木貞治, 近世数学史談, 岩波文庫, 1995

[2] C. F. ガウス (高瀬正仁訳), ガウス整数論, 朝倉書店, 1995.