判別式の求め方

$f(X)= X^n-1$ の判別式を求めるには, まず,

$$\prod_{i<j}(\alpha_i-\alpha_j)^2 =(-1)^{n(n-1)/2}\prod_{i\neq j}(\alpha_i-\alpha_j)$$

に注意し, ついで,

$$f(X)=\prod_{l}(X-\alpha_l)$$

の両辺を微分して $X=\alpha_k$ を代入することにより得られる式

$$f'(\alpha_k)=\prod_{l\neq k}(\alpha_k-\alpha_l)$$

に注意する.

$$\begin{align*}\prod_{i\neq j}(\alpha_i-\alpha_j) &=\prod_i(f'(\alpha_i))\\ &=\p... ... &\text{$n$ :奇数のとき}\\ -n^n& \text{$n$ :偶数のとき} \end{cases}\end{align*}$$

$$\Delta^2= \begin{cases} n^n &\text{$n\equiv 1,2(4)$:}\\ -n^n& \text{$n\equiv 0,3(4)$} \end{cases}$$