自己相反多項式

$f(X)$ は、その係数が上から読んでも下から読んでも同じになっている( 自己相反多項式)ので、 $f(X)/X^8$ は $X$ と $1/X$ の対称式 になっていることが分かります. このことは, $f(X)/X^8$ を$Y=X+1/X$ の多項式として 書くことができることをしめしています.

$$f(X)/X^8 =Y^8+Y^7-7Y^6-6Y^5+15Y^4+10Y^3-10Y^2-4Y+1$$

(計算のときには, つぎのような補助計算をしておくとよいでしょう.
$$\begin{align*}&Y^2-2=X^2+1/X^2 \\ &(Y^2-2)^2-2=X^4+1/X^4\\ &((Y^2-2)^2-2)^2-2=X^8+1/X^8 \end{align*}$$
あとはこれらをたしていけばよいわけです. )

さて, このように置き換えてみると, $f(X)=0$ を解くという問題は二つに 分けて考えることができます.

• $Y^8+Y^7-7Y^6-6Y^5+15Y^4+10Y^3-10Y^2-4Y+1=0$ という 8次方程式をとく.
• 上で求まった解 $y$ について, $y=x+1/x$ を満たす $x$ を求める.

二番目の問題は,

$$x^2-yx+1=0$$

という二次方程式を解くことになるので,

$$x=\frac{y\pm\sqrt{y^2-4}}{2}$$

とすぐに求まります. そこで 8次方程式を解くことに問題がしぼられるのですが, まだまだ道は遠そうですね.