根をべき乗していくこと

$x$ が$f(X)=0$ の解ならば,

$$x,x^2,x^3,x^4,x^5,x^6,x^7,x^8,x^9,x^{10},x^{11},x^{12},x^{13},x^{14},x^{15}, x^{16}$$

もそうです. いま, $x$ を二乗していくと,

$$x,x^2,x^4,x^8,x^{16},x^{32}=x^{15},x^{64}=x^{13},x^{128}=x^9,x^{256}=x,\dots \tag{★1}$$

あとは繰り返しになるので, 結局8つの根がえられます.

ここで現れない $x^3$ を二乗していくと,

$$x^3,x^6,x^{12},x^7,x^{14},x^{11},x^{5},x^{10},x^{3}\dots \tag{★2}$$

と, (★1)に現れない8つの根が現れます.

こんどは $x$ を3乗していくと,

$$x,x^3,x^9,x^{10},x^{13},x^5,x^{15},x^{11} ,x^{16},x^{14},x^8,x^7,x^4,x^{12}, x^2,x^6 \tag{◎}$$

と全部の根が得られることになります.

じつは, (◎)に並んでいるもののうち, 奇数番目に並んでいるものをとると, (★1)の全体に一致し, 偶数番目に並んでいるものをとると, (★2)の全体に一致することがわかります. 根を, このようにいくつかの組に分けること, これがまず第一のポイントです.