四分割

$$\begin{align*}&t_1=x+x^4+x^{13}+x^{16}\tag{4,1}\\ &t_2=x^2+x^8+x^{9}+x^{15}\tag... ...^5+x^{12}+x^{14}\tag{4,3}\\ &t_4=x^6+x^{7}+x^{10}+x^{11}\tag{4,10} \end{align*}$$
これらは変換 $x\mapsto x^4$ によって不変です.

$$\begin{align*}t_1+t_2=s_1,\quad t_1 t_2=-1 \tag{T1}\\ t_3+t_4=s_2,\quad t_3 t_4=-1 \tag{T2} \end{align*}$$

(T1)式から, 次のように $t1$ は $s_1,s_2$ から求めることができます.

$$t_1=\frac{-s_1\pm\sqrt{s_1^2+4}}{2}$$

$16(=2^4)$ という数はうまい具合に

$$16=8+8=(4+4)+(4+4)= ((2+2)+(2+2))+((2+2)+(2+2))$$

と次々に分割できて、

以下はこのような操作を繰り返して二次方程式を逐次解いていくことにより 最終的に $x$ が求まるということになります。