$x$ の多項式の簡易化

$x$ が方程式 $f(x)=0$ をみたすとき, $x$ の有理数係数の多項式 $p(x)$ は $16$ 個の根

$$x,x^2,x^3,\dots,x^{16}$$

の有理数係数の和として書くことができます. それには次のような手順を踏めばよろしい.

1.

$p(X)$ を $X^{17}-1$ で割った余りを $p_1(X)$ とおく. これには $p$ に現れる $X^{17}$ を随時 $1$ で置き換えればよい.

2.

$p_1(X)$ の定数項 $c$ に着目し, $p_2(X)=p_1(X)-c f(X)$ とおく.

このとき, $p(x)=p_1(x)=p_2(x)$ であり, $p_2(X)$ は $X,X^2,\dots,X^{16}$の有理数係数の和ですから, $p_2(x)$ は所定の目的を果たしています.

たとえば, $t_1t_3$ をこの方法で簡易化してみましょう.

$$t_1t_3=x^4 + x^6 + x^7 + x^9 + x^{13} + x^{15} + 2 x^{16} + 2 x^{18} + x^{19} + x^{21} + x^{25} + x^{27} + x^{28} + x^{30}$$

ステップ 1.で,

$$t_1t_3=2 x + x^2 + 2 x^4 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^{10} + x^{11} + 2 x^{13} + x^{15} + 2 x^{16}$$

定数項が $0$ なので, ステップ2は必要なかったですね. このように簡易化しておくと,

$$t_1t_3=2 t_1+t_2+t_4$$

という等式が容易にみてとれます. これがこの簡易化の利点です.

ただし, この簡易化では定数項を $0$ にしているぶん単に定数をあらわすとき にはかえって面倒になります. たとえば,

$$t_1t_2= x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^{10} + x^{11} + x^{12} + x^{13} + x^{14} + x^{15} + x^{16}$$

(本当は $-1$) のようなちょっとまどろっこしいことが起きていることにも 注意が必要です.