素人の皆さんこんにちは
ただ今準備中です。申し訳ありません。近いうちに完結する予定ですが
少しずつ進めます。
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まずお話をする前に数学でよく使う関数のようなものについて
説明します。
カテゴリーとファンクター
ある数 x に対して、f(x) と表される数が対応しているものを
関数と呼ぶことをご存知ですね。関数というと頭がいたい人もいると思いますが、
f が数の2なら、2(x)=2x として、2倍することですね。
また、2(x)=2+x と思えば2を加えることになります。
関数はこのような考えを少し複雑にしただけなのです。
なぜかというと、世の中は足し算掛け算だけでは説明できないことが多いですから。
ここの表題のカテゴリーはこの数の部分を数に限らなくても良いではないか、ということで
数以外にも考えを広げたもの。ファンクターは関数を広げたもの。
そのように考えを広げたものです。そのようにしたら微分積分は当然使えませんね。
だから、微分積分学の嫌いな人でも数学は出来ますね。足し算引き算が苦手な人でも
数学が出来ますね。
カテゴリーとファンクターの例
例として、日本の国民について調べようとします。
各人の何を調べるのかは調べる目的で違いますね。
カテゴリーとしてこの日本の国民を取ります。
ファンクターとして国勢調査とすると、日本の国民を
コンピュータのデータに写せますね。
こうすれば、全部で何人いるか、とか、だれとだれが同じ家族(ファミリー)
にいるのか、などは日本中を駆け巡らなくてもデータを見れば直ぐに分かりますね。
このように調べにくい対象を調べやすい対象に写して調べることが出来るのが
この考え方です。
ホモトピー論の考え方
ホモトピー論ではカテゴリーは図形全体です。次元は好きなように大きくしてください。4次元は霊の世界だとかというのは宗教の世界の話で、数学では10次元であろうが千次元
であろうが無量大数次元であろうが、それよりもっと大きい次元であろうが構いません。これを分かりやすい群の世界へ写すのがホモトピー群です。
ホモトピー群は上の例では国勢調査ですね。僕は今その調査員にあたる仕事をしています。
日本の国民の場合は一人一人調べないといけませんが図形ではn次元の球面が基本です。だから、球面だけを調べます。
それだけですがこれがとても大変です。人一人調べるのが大変なようなものですね。