群作用の不変量入門

増田俊彦 (高知大理)

1 序

作用素環上の群作用は Murray-von Neumann の昔から研究されてきたが, A. Connes による II_{1} 型 AFD factor への自己同型の分類の成功以来, 作用素環への群作用の研究は大きな進展を見せた.

Connes の自己同型の分類の動機は III 型 factor の分類であるが, [2] 及び [3] で Connes は II_{1} 型 AFD factor 上の自己同型の外部共役類を完全に分類し, これと [1] によってほとんど全ての AFD factor の分類に成功し, 「壮大な AF 因子環論構造論の金字塔を打ち立てたのである.」 (括弧内は竹崎先生の「作用素環の構造」 (9 月に岩波書店より復刊) の IX 章章末解説より引用. )

この仕事を受けて, [4] で Jones は Connes が [3] で外部共役類の不変量として導入した障害因子を一般化した特性不変量を導入し, AFD II_{1} 型 factor への有限群の作用を (コサイクル) 共役という同値関係で完全に分類した. この結果はすぐに Ocneanu によって [8] で一般の離散従順群の場合に拡張された. これらの結果は III 型 factor にも拡張され, [9], [7],

[6] によって完全に解決された.

今回の話では, おもに Connes, Jones, Ocneanu によって得られた II_{1} 型 factor への群作用の分類について話したいと思う.

なお群作用の解説に関しては [10] や日本語で書かれた [5] 等があるので興味のある方はそちらも参照していただきたい.

2 群作用の不変量と分類定理

定義 2.1 M を von Neumann 環, G を局所コンパクト群とする.

(1) α が G の M への作用とは, G から Aut (M) への連続群準同型である事である. (連続性の定義には Aut (M) にどのような位相入れるかが問題であるが, この点については講演で話す事にする.)

(2) α を G の作用とする. {u_{g}}_{g∈G} ⊂ U(M) が α-(1 次ユニタリ) コサイクルであるとは, u_{gh} = u_{g}α_{g}(u_{h}) が成立する事である.

(3) β を別の G の作用とする. この時 α と β がコサイクル共役であるとは, θ ∈ Aut (M) と α-コサイクル u_{g} が存在して

Ad u_{g}α_{g} = θβ_{g}θ^{−1}

となる事である.

注意として u_{g} が α-コサイクルなら Ad u_{g}α_{g} もまた G の作用である.

以下 M はいつでも II_{1} 型 factor, G を離散群とし, α を G の作用とする. 以下群作用の不変量を如何に定義するかを説明する.

G の正規部分群 N_{α} を

N_{α} := {n ∈ G|α_{n} ∈ Int(M)}

と定義する. この時 n ∈ N_{α} に対して M のユニタリ u_{n} が Ad u_{n} = α_{n} となるようにとれる. すると α_{m}α_{n} = α_{mn} 及び α_{g}α_{g^{−1}ng}α_{g}^{−1} の二つの式を比べることにより, 二つのスカラー λ(g, n), μ(m, n) が

α_{g}(u_{g^{−1}ng}) = λ(g, n)u_{n}, u_{m}u_{n} = μ(m, n)u_{mn}

となるようにとれる. (もちろん m, n ∈ N_{α}, g ∈ G である.) この二つのスカラーは無関係でなく次の関係式を満たす.

μ(l, m)μ(lm, n) = μ(m, n)μ(l, mn),
λ(gh, n) = λ(g, n)λ(h, h^{−1}nh),
λ(m, n) = μ(m, m^{−1}nm)\overline{μ(n, m)},
λ(g, mn)\overline{λ(g, m)λ(g, n)} = μ(m, n)\overline{μ(g^{−1}mg, g^{−1}ng)},
λ(1, m) = λ(g, 1) = μ(1, n) = μ(m, 1) = 1.

この (λ, μ) の組の集合を Z(G, N_{α}) とおく.

上のユニタリ u_{n} の決め方にはもちろん絶対値 1 のスカラー倍の任意性があるが, u_{n} を c_{n}u_{n}, c_{n} ∈ T と置き換えれば, λ, μ の代わりに c_{g^{−1}ng}\overline{c_{n}}λ(g, n) と c_{m}c_{n}\overline{c_{mn}}μ(m, n) が得られるので, これを同値関係として, この同値関係で Z(G, N_{α}) を割った空間を Λ(G, N_{α}) とおく. そして, α から上の様にして得られた [λ, μ] ∈ Λ(G, N_{α}) を Λ(α) と書き, α の特性不変量(characteristric invariant) と呼ぶ.

以下の定理が Connes, Jones, Ocneanu によって得られた分類定理である.

定理 2.2 R を II_{1} 型 AFD factor, G を離散従順群, α, β を G の R への作用とする. すると α と β がコサイクル共役であるための必要十分条件は N_{α} = N_{β} 及び Λ(α) = Λ(β) となる事である.

この節の最後に G = Z の場合に上の不変量がどの様に表されるか簡単にみてみる. α ∈ Aut (M) に対して p > 0 を α^{p} が inner automorphism になる最小の正整数とする. 但しこのような p > 0 が存在しない場合は p = 0 とする. この時上の記号をつかうと N_{α} = pZ である.

p = 0 の時はこれ以上する事はないので p > 0 の時を考える. α^{p} = Ad u となるユニタリ u ∈ U(M) をとっておく. 次に α^{p} = αα^{p}α^{−1} であるから Ad α(u) = Ad u となるので λ ∈ T が α(u) = λu となるように存在する. この λ は λ^{p} = 1 をみたす. 上の記号ではこれは λ(1, p) に相当するものである. またこの場合 μ(pm, pn) ≡ 1 となる事も簡単にわかる. そしてこの場合 λ(m, pn) = λ^{mn} となる事も上の λ(g, n) の関係式を使うと計算できるので, この場合 (p, λ) が求める不変量となる. この場合は特にこの λ を Ob(α) と書いて, α の障害因子 (obstruction) と呼ぶ ([3]).

3 作用の例

この節では AFD II_{1} factor の上に作用を実際にいろいろ構成してみるが, その前に AFD II_{1} factor のもっとも典型的な作り方である無限テンソル積による構成をざっと復習してみる.

まず A_{n} := ⨂_{i=1}^{n} M_{2}(C) とおく. もちろん M_{2}(C) は 2×2 の行列環である. 作用素環としてはこれは 2^{n} × 2^{n} 行列環と同型である. M_{2}(C) 上には tr (1) = 1 となる正規化されたトレースが一意にある. A_{n} 上でも ⊗_{i=1}^{n}tr によってトレースが一意的に入る. 次に A_{n} から A_{n+1} への埋め込みを x → x ⊗ 1 で与えるとこの埋め込みによってトレースの値は変わらない. つまり tr (x) = tr (x ⊗ 1) が成り立つ. すると {A_{n}}_{n=1}^{∞} は増大列であるが, ここで A := ∪_{n}A_{n} とし, A に ⟩x, y⟨:= tr (y^{∗}x) で内積を入れて完備化したヒルベルト空間を H とし, H への A の作用を左掛け算によって定義する. そこで強位相での閉包をとれば, それが AFD II_{1} 型 factor となる. ここで重要な事は次の Murray-von Neumann の定理である.

定理 3.1 AFD II_{1}factor はすべて同型である.

だから例えば上の構成で M_{2}(C) を M_{3}(C) に代えても同じ II_{1}factor が構成されるのである. このように AFD II_{1} 型 factor にはいろいろな作り方があり, その作り方に応じていろいろ自己同型や作用を作ることができるのである.

以下 R と書いたら特に断らない限り (一意的な)AFD II_{1} 型 factor を表すものとし, M とかいたら AFD とは限らない一般の II_{1} 型 factor を表すものとする.

例 3.2 G を可算離散群とし, G の R への自由な作用 (前節の記号で N_{α} が自明になる事) を構成する. g ∈ G に対し R_{g} := R として無限テンソル積 ⨂_{g∈G} R_{g} を考えると R ≅ ⨂_{g} R_{g} である. そこで h ∈ G に対し α_{h} ∈ Aut (R) を

例 3.3 G を有限群とする. λ を G の l^{2}(G) 上の左正則表現とすれば

g → Ad λ_{g} ∈ Aut (B(l^{2}(G)))

は G の B(l^{2}(G)) ≅ M_{|G|}(C) への作用である. ここで R = ⊗_{i=1}^{∞}B(l^{2}(G)) と無限テンソル積で表されるがそのうちの有限のテンソル積の部分 ⨁_{i=1}^{n} B(l^{2}(C)) 上で

α_{g}(x) := \underbrace{Ad λ_{g} ⊗ ⋯ Ad λ_{g}}_{n 回}x

と定めるとこれは well-defined な自己同型で R 全体に延び, G の作用を与える. 一見この作用は inner automorphism である様に見えるが実はこの作用も自由 (N_{α} = e) となる事がわかる. つまり無限テンソル積 ⨂_{i=1}^{∞} M_{|G|}(C) を考えたとき, 気持としてはこの中の元は ⋯ x ⊗ 1 ⊗ 1 × 1 ⋯ の様に十分先では 1 のテンソルしか現れない様な形をしていると考えられるので ⊗_{i=1}^{∞}λ_{g} の様な元は無限テンソル積の中の元にははいってこないのである.

例 3.4 例 3.3 において特に G = Z/pZ と置くと Z/pZ の自由な作用が構成されるがこれは周期 p の自己同型 σ^{(p)} を与える事と同じ事である. ここで例 3.3 と同様にして無限テンソル積型の自己同型 σ^{(0)} := ⨂_{p≥2} σ^{(p)} を考えるとこれは Z の自由な作用を与える.

ここまでの例は全て自由な作用の例だが, [λ, μ] ∈ Λ(G, N) が与えられた時に N_{α} = N, [λ_{α}, μ_{α}] = [λ, μ] となる作用の構成を説明する. この部分は時間の都合上講演では省略した点であるがこの予稿ではちゃんと解説する事にする.

例 3.5 G を離散従順群, N を G の正規部分群とし [λ, μ] ∈ Λ(G, N) をとってくる. ここで最初の例で作った G の自由な作用 α をとってくる. 特に N は R の上に作用しているのだが, ここで捻り接合積 M ⋊_{μ,α} N を次の様に構成する.

まずRをトレースに関するGNS表現でL^{2}(R)に作用させておく. 次にH := l^{2}(N, L^{2}(R)) 上に R と N の作用を次の様に定義する

(π(a)ξ)(g) := α_{g^{−1}}(x)ξ(g),
(u_{h}ξ)(g) := μ(h, h^{−1}g)ξ(h^{−1}g).

μ の満たしている式より, u_{g}u_{h} = μ(g, h)u_{gh} 及び u_{g}π(x)u_{g}^{∗} = π(α_{g}(x)) となる事がわかる. そこで R ⋊_{μ,α} N を π(R) と {u_{g}}_{g∈N} で生成される von Neumann 環とする.

ちなみにこの構成自体は一般の von Neumann 環とそこへの群作用及び μ があればできるのだが, 今の状況では R が AFD II_{1} 型 factor N が離散従順群で R に自由に作用しており, これらの条件を使うと R ⋊_{μ,α} N もまた AFD II_{1} 型 factor である事が証明される. AFD である点以外はさほど難しくもなく証明できるが AFD である点は Connes の [1] の AFD 性のいろいろな特徴付けをを使う必要があり, これを認めると R ⋊_{μ,α} N が AFD である事もそれほど難しくなくわかる. (この Connes の結果は作用素環論中でももっとも深く難しい理論の一つなのでここで解説する事は不可能である.)

そこで G の R ≅ R ⋊_{μ,α} N の作用 σ を生成元について

σ_{g}(π(a)) = π(α_{g}(a)),
σ_{g}(u_{h}) = λ(g, ghg^{−1})u_{ghg^{−1}}

とすると λ と μ の関係式を使えば σ が G の作用である事がわかり, しかも N_{σ} = N, [λ_{σ}, μ_{σ}] = [λ, μ] である事が示される.

4 証明の方針のあらすじ

定理 2.2 の証明は次の様にして不変量が自明な場合 (作用が自由な場合) に帰着される. α を G の作用とし, その不変量を (N_{α}, [λ_{α}, μ_{α}]) とする. するとこの時前節の最後の例か

ら別の G の作用 β で N_{β} = N_{α}, [λ_{β}, μ_{β}] = [\overline{λ_{α}}, \overline{μ_{α}}] となる物が構成される. ここで α ⊗ β を考えると上の取り方から N_{α⊗β} = N_{α}, [λ_{α⊗β}, μ_{α⊗β}] = [1, 1] となり特性不変量が自明な場合に帰着されてしまう. さらにこのケースは G/N_{α} の自由な作用の分類に帰着されてしまう事も証明されるので, 結果的には G が自由に R に作用する場合の分類に帰着されるのである.

後は自由な作用をどのように分類するかであるが, そのために用いられるのが central sequence である.

定義 4.1 {x_{n}} ⊂ M をノルム有界な列とする. この時 {x_{n}} が central seqence であるとは任意の a ∈ M について lim_{n→∞} ||x_{n}a−ax_{n}||_{2} = 0 となる事である. ここで ||y||_{2} = tr (y^{∗}y)^{\frac{1}{2}} の事である.

つまり central seqence とはぴったりとは M の元とは可換ではないが漸近的には可換となるような列の事である.

定義 4.2 α ∈ Aut (M) が centrally trivial であるとは任意の central seqence {x_{n}} について lim_{n→∞} ||α(x_{n}) − x_{n}||_{2} = 0 となる事である. Centrally trivial な自己同型の集合を Cnt(M) と表す.

Centrally trivial な自己同型は central seqence 上に自明に作用する自己同型の事であるが, 上の定義から内部自己同型は Cnt(M) の元である事はすぐにわかる. 実際 R 上の自己同型については次の事が知られている.

定理 4.3 AFD II_{1} 型 factorR については Int(R) = Cnt(R) かつ Aut (R) = \overline{Int}(R) である.

これによって R から central seqence の世界に移ると内部自己同型の部分は消え去ってしまう. 実際 central seqence の世界ではいろいろいい事があり cenrall seqence の世界で作用をかんがえていろいろいじり, central seqence の成分を見る事で R の世界にもどっていろいろ操作する事により分類が実行されるのである.

参考文献

[1] Connes, A., Classification of injective factors, Ann. Math. 104 (1976), 73–115.

[2] Connes, A., Outer conjugacy classes of automorphisms of factors, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 8 (1975), 383–420.

[3] Connes, A., Periodic automorphisms of the hyperfinite factor of type II_{1}, Acta. Sci. Math. 39 (1977), 39–66.

[4] Jones, V. F. R., Actions of finite groups on the hyperfinite type II_{1} factor. Memoirs of Amer. Math. Soc. 237, (1980).

[5] 片山良一, 超有限的因子環への群作用の分類, 数学第 48 巻 1–11.

[6] Katayama, Y., Sutherland, C., and Takesaki, M., The characteristic square of a factor and the cocycle conjugacy of discrete group actions on factors, Invent. Math. 132 (1998), 331–380.

[7] Kawahigashi, Y., Sutherland, C., and Takesaki, M., The structure of the automorphism group of an injective factor and the cocycle conjugacy of discrete abelian group actions, Acta. Math. 169 (1992), 105–130.

[8] Ocneanu, A., Actions of discrete amenable groups on von Neumann algebras, Lecture Notes in Math. 1138 (1985), Springer, Berlin.

[9] Sutherland, C. and Takesaki, M., Actions of discrete amenable groups on injective factors of type III_{λ}, λ ≠ 1. Pac. J. Math. 137 (1989), 405–444.

[10] Takesaki, M., Cocycle conjugacy of group actions on factors, Proc. Symposia in pure mathematics 51 (1990), 539–560.