接合積の基本的性質 (Elementary properties of crossed products)

増田俊彦 (高知大理) MASUDA Toshihiko (Kochi Univ.)

1 序

接合積は作用素環論の創始者たる Murray-von Neumann によって factor の例の構成の為に初めて考え出された. 以降作用素環の研究の中で接合積による作用素環の構成は基本的な物となっている.

この講演ではまず接合積の定義から始め, 接合積の元の級数表示や, 接合積がいつ因子環になるか, 等を説明する.

標準的な作用素環の教科書にはたいてい接合積の話は書いてある. たとえば [3] の第 IV 章やその解説, original の Murray-von Neumann による factor の構成については [2] の最終章, C^{∗} 環の接合積については [1, Chapter 7] を参照されたい.

2 接合積の定義

この講演では主に von Neumann 環と discrete group(離散群) の接合積を考える. C^{∗} 環の場合にはやや事情が異なるがかなりの部分で同様の議論が可能である. まず記号の準備から始める.

H を Hilbert 空間, M ⊂ B(H) を von Neumann 環として M の ∗ 自己同型のなす集合を Aut (M) と表す. M のユニタリの集合を U(M) := {u ∈ M | u^{∗}u = uu^{∗} = 1} で表す. u ∈ U(M) に対して M の inner automorphism(内部自己同型)Ad u が Ad u(x) = uxu^{∗} で定められる. Inner automorphism の集合を Int (M) で表す.

接合積の定義の説明に入る. G を discrete group として α を G から Aut (M) への準同型写像とする. 普通は g ∈ G の像は α_{g} ∈ Aut (M) と表す. このような場合 α は G の action(作用) であるという. この時 l^{2}(G, H) := {ξ : G → H | ∑_{g} ∥ξ(g)∥^{2} < ∞} と Hilbert 空間を定義して (これは l^{2}(G) ⊗ H と同型), この Hilbert 空間の上に M の表現 π_{α} と G の表現 λ を次の様に定義する.

(π_{α}(x)ξ)(g) := α_{g^{−1}}(x)ξ(g),
(λ_{h}ξ)(g) := ξ(h^{−1}g).

すると λ_{g}π_{α}(x)λ_{g}^{−1} = π_{α}(α_{g}(x)) が計算でわかる. この事より π_{α}(M) と {λ_{g}}_{g∈G} で生成される ∗-algebra は A := {∑_{g} π_{α}(x_{g})λ_{g} | 有限個のg を除いてx_{g} = 0} である事がわかる.

定義 2.1 π_{α}(M) と {λ_{g}}_{g∈G} で生成される von Neumann 環を M ⋊_{α} G と書き, M と G の接合積とよぶ.

上の定義から明らかに A は M ⋊_{α} G の dense な ∗-subalgebra である.

(注意.) M ⋊_{α} G は実は M の代数構造だけによって, Hilbert 空間 H の取り方にはよらない事が知られている.

3 接合積の元の “級数” 表示

前節の最後で A が M ⋊_{α} G の dense な ∗-subalgebra になる事を書いたが, この節では実際に M ⋊_{α} G の任意の元が ∑_{g} π_{α}(x_{g})λ_{g} の形で表される事を見る. l^{2}(G, H) から H への写像 P を P ξ = ξ(e) で定める. これは丁度 ξ の e 成分を取り出す事にあたる. ここで x ∈ M ⋊_{α} G に対し E(x) := P xP^{∗} と定める. P^{∗} については ξ ∈ H に対して ξ̃(g) := δ_{e,g}ξ と定めると P^{∗}ξ = ξ̃になる. この時 π_{α}(x_{g})λ_{g} ∈ A については

P (π_{α}(x_{g})λ_{g})P^{∗}ξ = (π_{α}(x_{g})λ_{g}P^{∗}ξ)(e)
= x_{g}(λ_{g}P^{∗}ξ)(e)
= x_{g}(P^{∗}ξ)(g^{−1})
= x_{g}ξ̃(g^{−1})
= δ_{e,g}x_{g}ξ

となる. すると x = ∑_{g} π_{α}(x_{g})λ_{g} ∈ A (これは有限和である事に注意) に対し E(x) = x_{e} ∈ M である事がわかる. この E は連続であり, かつ E による A の像は M に入るので E は M ⋊_{α} G から M への写像である. 上の計算結果より E(xλ_{g}^{−1}) = x_{g} となる事も容易にわかるので x = ∑_{g} π_{α}(E(xλ_{g}^{−1}))λ_{g} と表す事ができる.

これから一般の x ∈ M ⋊ G についても x_{g} := E(xλ_{g}^{−1}) ∈ M とおくと x = ∑_{g} π_{α}(x_{g})λ_{g} と表される事が予想できる. 実際にはこれは無限和になるため収束についての細かい議論が必要になるが, 大体においてこう書いても良い, という事が知られている. もちろん G が有限群の場合にはすべて有限和の範囲で扱えるので, x = ∑_{g} π_{α}(E(xλ_{g}^{−1}))λ_{g} と表される事は正しい. Fourier 級数の話を知っている人にとっては上の λ_{g} を e^{int} に置き換えて E(xλ_{g}^{−1}) を ∫_{0}^{2π} x(t)e^{−int}dt に置き換えてみると上の事が実は Fourier 級数の級数展開と話の筋道が似ている事がわかるであろう.

4 Factor の接合積

Von Neumann 環の中で最も基本的とされるのは factor(因子環) と呼ばれる種類の環である. ここで von Neumann 環 M の center(中心) Z(M) := {x ∈ M | xy = yx for every y ∈ M} が C となる時 M を factor という. この節では特に factor 上の群作用と接合積を考えてそれがいつ factor になるのか考える. 以降この節では M は factor であるとする.

定義 4.1 α ∈ Aut (M) が Int (M) に入らない時 α は outer automorphism (外部的自己同型) という. また G の action α が g ≠ e に対して α_{g} ∉ Int (M) を満たす時 α は outer action(外部的作用) であるという.

作用素の極分解を使うと次の補題は簡単にわかる.

補題 4.2 α ∈ Aut (M) が outer である事は次の条件と同値である. a ∈ M が α(x)a = ax を全ての x ∈ M について満たすなら a = 0 である.

今 G の作用が outer であるとして M ⋊_{α} G の center を前節で説明した “級数” 展開を使って計算してみる. これ以降混乱のおそれがない限り M と π_{α}(M) ⊂ M ⋊_{α} G を同一視して π_{α} は省く事とする.

a = ∑_{g} a_{g}λ_{g} ∈ M ⋊_{α} G が center の元になると仮定するともちろんこれは M の元とも交換するので xa = ax が全ての x ∈ M について成り立つ. 左辺は ∑_{g} xa_{g}λ_{g} となり右辺は ∑_{g} a_{g}λ_{g}x = ∑_{g} a_{g}α_{g}(x)λ_{g} となるので各係数を比べると, xa_{g} = a_{g}α_{g}(x) が全ての g ∈ G, x ∈ M について成り立つ. ここで α が outer であるとの仮定より g ≠ e ならば a_{g} = 0 が上の補題によりでてくる. また g = e については xa_{e} = a_{e}x より a_{e} ∈ Z(M) = C である事もわかり, 結局 a = a_{e} ∈ C である事がわかる. これによって M′∩(M ⋊_{α}G) := {a ∈ M ⋊_{α}G | xa = ax for every x ∈ M} = C である事がわかる. 明らかに Z(M ⋊_{α} G) ⊂ M′ ∩(M ⋊_{α} G) であるので Z(M ⋊_{α} G) = C である事がわかり, 結局 M ⋊_{α} G は factor である事がわかる.

上の事は α が outer なら M′ ∩ (M ⋊_{α} G) = C である事を示しているが, 逆にこの条件が成り立つなら α は outer action である事もわかる.

実際には action が outer でなくとも M ⋊_{α} G が factor になる場合は存在するがこの点についてはもし時間があるようであれば説明するが次の事だけ書いておく.

一般の離散群の場合には M′∩(M ⋊_{α}G) や Z(M ⋊_{α}G) は Jones の characteristic invariant と呼ばれる量で記述できる. また G が離散とは限らない locally compact abelian group の場合には Connes spectrum と呼ばれる量で M ⋊_{α} G がいつ factor になるかを特徴付ける事ができる.

参考文献

[1] Pedersen, G. K., C^{∗}-algebras and their automorphism groups, Academic Press, (1979).

[2] Takesaki, M., Theory of Operator Algebras, I, Springer-Verlag, (1979).

[3] 竹崎正道, 作用素環の構造, 岩波書店, (1983).