接合積の基本的性質 (Elementary properties of crossed products)

増田俊彦 (高知大理) MASUDA Toshihiko (Kochi Univ.)

1 序

接合積は作用素環論の創始者たる Murray-von Neumann によって factor の例の構成の為に初めて考え出された. 以降作用素環の研究の中で接合積による作用素環の構成は基本的な物となっている.

この報告集ではまず接合積の定義から始め, 接合積の元の級数表示や, 接合積がいつ因子環になるか, 等を説明する.

標準的な作用素環の教科書にはたいてい接合積の話は書いてある. たとえば [3] の第 IV 章やその解説, original の Murray-von Neumann による factor の構成については [2] の最終章, C^{∗} 環の接合積については [1, Chapter 7] を参照されたい.

2 接合積の定義

この講演では主に von Neumann 環と countable discrete group(可算離散群) の接合積を考える. C^{∗} 環の場合にはやや事情が異なるがかなりの部分で同様の議論が可能である.

まず von Neumann 環の定義から始める.

定義 2.1 H を Hilbert 空間とする. B(H) の元からなる有向系 {x_{i}}_{i∈I} が x ∈ B(H) に strong operator topology で収束するとは任意の ξ ∈ H について ∥(x_{i} − x)ξ∥ が 0 に収束する事である.

定義 2.2 H を Hilbert 空間, M を B(H) の ∗-subalgebra で H 上の恒等作用素 id_{H} を含む物とする. M が strong operator topology で閉じている時 M を von Neumann 環と呼ぶ.

実際には von Neumann 環には strong operator topology の他にもいろいろな位相が入るのだが, その点についてはここではふれない.

Von Neumann 環の理論で最も基本的かつ重要な定理が次の Murray-von Neumann の double commutant theorem である.

定理 2.3 M ⊂ B(H) を id_{H} を含む ∗-subalgebra として M の commutant(可換子環)M′ を

M′ := {x ∈ B(H) | yx = xy for every y ∈ M}

と定義する. この時 M が von Neumann 環である事と (M′)′ = M である事は同値である.

例 2.4 区間 [0, 1] 上の本質的に有界な関数の集合 L^{∞}[0, 1] を考える. (考えている測度はもちろんルベーグ測度である.) L^{∞}[0, 1] の元は掛け算作用素として Hilbert 空間 L^{2}[0, 1] の有界線型作用素と同一視する事ができるが, この時 L^{∞}[0, 1] は von Neumann 環である. 実際, L^{∞}[0, 1]′ = L^{∞}[0, 1] である事が判るので特に 2 回 commutant をとれば元に戻る. また C[0, 1] は L^{∞}[0, 1] の C^{∗}-subalgebra であるが, これは von Neumann 環ではない. 実際 (C[0, 1]′)′ = L^{∞}[0, 1] となる.

接合積の定義の前に記号を少し準備しておく. H を Hilbert 空間, M ⊂ B(H) を von Neumann 環として M の ∗-自己同型のなす集合を Aut (M) と表す. M のユニタリの集合を U(M) := {u ∈ M | u^{∗}u = uu^{∗} = 1} で表す. u ∈ U(M) に対して M の inner automorphism(内部自己同型)Ad u が Ad u(x) = uxu^{∗} で定められる. Inner automorphism の集合を Int (M) で表す. なお von Neumann 環の ∗-自己同型は自動的に連続となる事が知られている.

接合積の定義の説明に入る. G を countable discrete group として α を G から Aut (M) への準同型写像とする. 普通は g ∈ G の像は α_{g} ∈ Aut (M) と表す. このような場合 α は G の (M への)action(作用) であるという. まず l^{2}(G, H) := {ξ : G → H | ∑_{g} ∥ξ(g)∥^{2} < ∞} と新しい Hilbert 空間を定義する. 実際内積を ⟨ξ, η⟩ := ∑_{g∈G}⟨ξ(g), η(g)⟩_{H}, ξ, η ∈ l^{2}(G, H), と定めるとこの内積に関して l^{2}(G, H) は完備である事が容易に示される. (⟨·, ·⟩_{H} はもちろん H の内積を表す.) これは l^{2}(G) ⊗ H と同型である事もすぐわかる. この Hilbert 空間の上に M の表現 π_{α} と G の表現 λ を次の様に定義する.

(π_{α}(x)ξ)(g) := α_{g^{−1}}(x)ξ(g),
(λ_{h}ξ)(g) := ξ(h^{−1}g).

π_{α} が M の忠実表現である事はすぐにわかる. また λ の方は G の左正則表現に他ならない. ここで λ_{g}π_{α}(x)λ_{g}^{∗} = π_{α}(α_{g}(x)) が計算でわかる. 実際次の様にして確かめる事ができる.

(λ_{g}π_{α}(x)λ_{g}^{∗}ξ)(h) = (π_{α}(x)λ_{g}^{∗}ξ)(g^{−1}h)
= α_{h^{−1}g}(x)(λ_{g^{−1}}ξ)(g^{−1}h)
= α_{h^{−1}}(α_{g}(x))ξ(h)
= (π_{α}(α_{g}(x))ξ)(h)

この事より π_{α}(M) と {λ_{g}}_{g∈G} で生成される ∗-algebra は

A := {∑_{g} π_{α}(x_{g})λ_{g} | 有限個のg を除いてx_{g} = 0}

である事がわかる.

定義 2.5 π_{α}(M) と {λ_{g}}_{g∈G} で生成される von Neumann 環を M ⋊_{α} G と書き, M と G の接合積とよぶ.

上の定義から明らかに A は M ⋊_{α} G の dense な ∗-subalgebra である.

(注意.) M ⋊_{α} G は実は M の代数構造だけによって, Hilbert 空間 H の取り方にはよらない事が知られている.

3 接合積の元の “級数” 表示

前節の最後で A が M ⋊_{α} G の dense な ∗-subalgebra になる事を書いたが, この節では実際に M ⋊_{α} G の任意の元が ∑_{g} π_{α}(x_{g})λ_{g} の形で表される事を見る. l^{2}(G, H) から H への写像 P を P ξ = ξ(e) で定める. これは丁度 ξ の e 成分を取り出す事にあたる. ここで x ∈ M ⋊_{α} G に対し E(x) := P xP^{∗} と定める. P^{∗} については ξ ∈ H に対して ξ̃(g) := δ_{e,g}ξ と定めると P^{∗}ξ = ξ̃になる. この時 π_{α}(x_{g})λ_{g} ∈ A については

P (π_{α}(x_{g})λ_{g})P^{∗}ξ = (π_{α}(x_{g})λ_{g}P^{∗}ξ)(e)
= x_{g}(λ_{g}P^{∗}ξ)(e)
= x_{g}(P^{∗}ξ)(g^{−1})
= x_{g}ξ̃(g^{−1})
= δ_{e,g}x_{g}ξ

となる. すると x = ∑_{g} π_{α}(x_{g})λ_{g} ∈ A (これは有限和である事に注意) に対し E(x) = x_{e} ∈ M である事がわかる. この E は連続であり, かつ E による A の像は M に入るので E は M ⋊_{α} G から M への写像である. 上の計算結果より E(xλ_{g}^{−1}) = x_{g} となる事も容易にわかるので x = ∑_{g} π_{α}(E(xλ_{g}^{−1}))λ_{g} と表す事ができる.

これから一般の x ∈ M ⋊_{α} G についても x_{g} := E(xλ_{g}^{−1}) ∈ M とおくと x = ∑_{g} π_{α}(x_{g})λ_{g} と表される事が予想できる. 実際にはこれは無限和になるため収束についての細かい議論が必要になるが, 大体においてこう書いても良い, という事が知られている. もちろん G が有限群の場合にはすべて有限和の範囲で扱えるので, x = ∑_{g} π_{α}(E(xλ_{g}^{−1}))λ_{g} と表される事は正しい. Fourier 級数の話を知っている人にとっては上の λ_{g} を e^{int} に, E(xλ_{g}^{−1}) を \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} x(t)e^{−int}dt に置き換えてみると上の事が実は Fourier 級数の級数展開と話の筋道が似ている事がわかるであろう.

4 Factor の接合積

Von Neumann 環の中で最も基本的とされるのは factor(因子環) と呼ばれる種類の環である. ここで von Neumann 環 M の center(中心) Z(M) := {x ∈ M | xy = yx for every y ∈ M} が C となる時 M を factor という. この節では特に factor 上の群作用と接合積を考えてそれがいつ factor になるのか考える. 以降この節では M は factor であるとする.

定義 4.1 α ∈ Aut (M) が Int (M) に入らない時 α は outer automorphism (外部的自己同型) という. また G の action α が g ≠ e に対して α_{g} ∉ Int (M) を満たす時 α は outer action(外部的作用) であるという.

補題 4.2 α ∈ Aut (M) が outer である事は次の条件と同値である. a ∈ M が α(x)a = ax を全ての x ∈ M について満たすなら a = 0 である.

明らかに上の補題は次の補題と同値である.

補題 4.3 α ∈ Aut (M) が inner である事は次と同値である. 0 ≠ a ∈ M が α(x)a = ax を全ての x に対して満たす様に存在する.

(証明.) α ∈ Int (M) とする. すると α = Ad u, u ∈ U(M) と書けるので, これから明らかに α(x)u = ux がすべての x について成り立つ. よって a = u とおけば良い.

逆にα(x)a = axをみたす0 ≠ aがあると仮定する. これからすぐa^{∗}ax = a^{∗}α(x)a = xa^{∗}a となる事が分かるので, a^{∗}a ∈ Z(M)_{+} = R_{+} である. 同様に aa^{∗} ∈ R_{+} である事も分かる. よって a を (a^{∗}a)^{− \frac{1}{2}} a に置き換える事によって a^{∗}a = 1 であるとしても良い. この時 aa^{∗} ∈ C である事から自動的に aa^{∗} = 1 である事もわかる. よって a はユニタリであり, α = Ad a である事が分かる. □

今 G の作用が outer であるとして M ⋊_{α} G の center を前節で説明した “級数” 展開を使って計算してみる. これ以降混乱のおそれがない限り M と π_{α}(M) ⊂ M ⋊_{α} G を同一視して π_{α} は省く事とする.

a = ∑_{g} a_{g}λ_{g} ∈ M ⋊_{α} G が center の元になると仮定すると, もちろんこれは M の元とも交換するので xa = ax が全ての x ∈ M について成り立つ. 左辺は ∑_{g} xa_{g}λ_{g} となり右辺は ∑_{g} a_{g}λ_{g}x = ∑_{g} a_{g}α_{g}(x)λ_{g} となるので λ_{g} の係数を比べると, xa_{g} = a_{g}α_{g}(x) が全ての g ∈ G, x ∈ M について成り立つ事がわかる. ここで α が outer であるとの仮定より g ≠ e ならば a_{g} = 0 が上の補題によりでてくる. また g = e については xa_{e} = a_{e}x より a_{e} ∈ Z(M) = C である事もわかり, 結局 a = a_{e} ∈ C である事がわかる. これによって M′ ∩ (M ⋊_{α} G) := {a ∈ M ⋊_{α} G | xa = ax for every x ∈ M} = C である事がわかる. 明らかに Z(M ⋊_{α} G) ⊂ M′ ∩ (M ⋊_{α} G) であるので Z(M ⋊_{α} G) = C である事がわかり, 結局 M ⋊_{α} G は factor である事がわかる.

上の計算から α が outer である事は M ⋊_{α} G が factor である事の十分条件であるが必用条件ではない. 実際には action が outer でなくとも M ⋊_{α} G が factor になる場合は存在する. この点についてはここでは詳しくは述べないが, 次の事だけ書いておく.

一般の離散群の場合には M′∩(M ⋊_{α}G) や Z(M ⋊_{α}G) は Jones の characteristic invariant と呼ばれる量で記述できる. また G が離散とは限らない locally compact abelian group の場合には Connes spectrum と呼ばれる量で M ⋊_{α} G がいつ factor になるかを特徴付ける事ができる.

最後に outer action の例を幾つかあげておく. そのためにまず AFD II_{1} factor と呼ばれる特別な factor の構成をまず説明する.

M_{2} を 2 × 2 行列環とする. A_{n} := \underbrace{M_{2} ⊗ M_{2} ⊗ ⋯ ⊗ M_{2}}_{n} とする. A_{n} は 2^{n} × 2^{n} 行列環と

同型である. A_{n} から A_{n+1} への埋め込みを x ∈ A_{n} に対して x ⊗ 1 ∈ A_{n+1} として定義してその帰納極限を考える. (これは勝良氏の講演で出てきた M_{2^{∞}} の構成と全く同じである.)

A_{n} の上でトレース tr_{n} := \underbrace{tr ⊗ ⋯ tr}_{n} を考える. 但し tr は M_{2} のトレースで tr(1) = 1

と正規化してある物とする. このトレースは tr_{n}(x) = tr_{n+1}(x ⊗ 1) である事から A_{n} の埋め込みと両立する事が分かる. よって A := ⋃_{n} A_{n} 上のトレース tr_{A} が x ∈ A_{n} に対し tr_{A}(x) := tr_{n}(x) とする事により定まる.

A に内積を ⟨x, y⟩ := tr_{A}(y^{∗}x) と定めて, この内積による完備化で得られる Hilbert 空間を H と置く. x ∈ A の H への埋め込みによる像を x̂ と書く事にする. ここで A の H への表現 π_{l} を π_{l}(x)ŷ:= x̂y と定める. 実際に π_{l}(x) は B(H) の元になっている事は簡単に分かる. ここで R を π_{l}(A) で生成される von Neumann 環とする. この R が AFD II_{1} factor と呼ばれる物である. tr_{R}(x) := ⟨xˆ1, ˆ1⟩ とすると tr_{R} は R の正規化されたトレースとなっておりこれは唯一の R のトレースである事が分かる. Z(R) = C である事は tr_{R} が R の唯一のトレースである事から証明される. AFD II_{1} factor の名前について補足しておく. AFD は approximately finite dimensional の略である. また II_{1} とはおおざっぱにいって上に現れたトレース tr_{R} の存在を意味している. 詳しいことは参考文献を見られたい.

R はいろいろ良い性質を持っているが, 例えば R ⊗ R ≅ R である事が知られている. これから R の有限個のテンソル積は R と同型である事がわかる. そこで例えば R ≅ R ⊗ R である事を使って R 上の自己同型 α を α(x ⊗ y) = y ⊗ x と定める. 明らかに α^{2} = id_{R} であるが, 実は α は outer automorphism である事が示される. よってこれは Z/2Z の outer action と思う事ができる. 同様にして Z/nZ やもっと一般の有限群の R への outer action を作る事が出来る. また無限テンソル積を考える事により任意の discrete group の outer action を作ることも出来る.

(注意.) M_{n}(C) や B(H) も factor であるが, この場合には全ての自己同型が inner である事が証明される.

参考文献

[1] Pedersen, G., C^{∗}-algebras and their automorphism groups, Academic Press, (1979).

[2] Takesaki, M., Theory of Operator Algebras, I, Springer-Verlag, (1979).

[3] 竹崎正道, 作用素環の構造, 岩波書店, (1983).