Von Neumann 環入門

高知大学理学部増田俊彦 (助手)

1 序

この予稿の目的は Murray-von Neumann による factor の分類に始まり, 冨田竹崎理論の結果を簡単に紹介して, III 型 factor の構造をざっと紹介する事である. 詳しくは参考文献を参照の事. 予稿には具体例はほとんどないが, 講演で補っていく予定である.

2 Von Neumann 環の (最低限の) 基本事項

ℌ を Hilbert 空間とし, その内積は ⟨ξ|η⟩ と表す事とする. B(ℌ) で ℌ の有界線型作用素全体を表す. x ∈ B(ℌ) に対してそのノルム ∥x∥ は ∥x∥ = sup_{∥ξ∥≤1} ∥xξ∥ で定義され, B(ℌ) はこのノルムに関し C^{∗} 環となる. もちろん ∗ 構造は ⟨xξ|η⟩ = ⟨ξ|x^{∗}η⟩ で定める.

次に B(ℌ) に別の位相を導入する. 有向系 {x_{i}} ⊂ B(ℌ) が x に強収束 (弱収束) するとは ∥xξ − x_{i}ξ∥ → 0 (⟨(x − x_{i})ξ|η⟩ → 0) が全ての ξ, η ∈ ℌ について成り立つ事である. またこれから定まる位相をそれぞれ作用素の強位相, 弱位相と呼ぶ事もある. 一般にはもう何種類かの位相を考えるのだがここではふれない.

定義 2.1. M ⊂ B(ℌ) を ∗-subalgebra とする. id_{ℌ} ∈ M でかつ M が強位相で閉じている時, M を von Neumann 環と呼ぶ.

{x_{i}} がノルムに関し x に収束すれば, 強収束かつ弱収束する事がわかるのでこれより von Neumann 環は C^{∗} 環である事がわかる.

定義 2.2. S ⊂ B(ℌ) にたいして S の commutant S′ を S′ := {a ∈ B(ℌ) | 全てのx ∈ S についてax = xa} と定義する.

次が Murray-von Neumann の double commutant theorem で von Neumann 環の研究において最も基本的かつ重要な役割を果たす.

定理 2.3. id_{ℌ} ∈ M ⊂ B(ℌ) を ∗-subalgebra とする時次は同値.

(1) M は強位相で閉. (2) M は弱位相で閉. (3) M = M′′(:= (M′)′).

この定理の系として次が従う.

系 2.4. M が von Neumann 環なら, 極分解やスペクトル分解は全て M の中で可能.

例 2.5. (X, ν) を σ 有限な測度空間とする. L^{∞}(X, ν) は掛け算で L^{2}(X, ν) に作用するが, この時 L^{∞}(X, ν) は von Neumann 環である. また可換な von Neumann 環はいつでもこの形に書ける事が知られている.

上の系により (特にスペクトル分解)M は projection の集合 Proj(M) で生成される事がわかるので, Proj(M) を調べる事が M の構造の解明の第一歩と考えられる. これについては次の節で説明する.

M^{∗} を M の共役空間とする. M_{∗} を M^{∗} の元で強位相で連続な汎関数の集合とする. M_{∗} は Banach 空間となる.

定理 2.6. Banach 空間として (M_{∗})^{∗} = M である. また M_{∗} を predual と呼ぶ.

実際 von Neumann 環を, ある Banach 空間の dual になっている C^{∗}- algebra, として特徴付ける事も可能である.

3 Factor の type による分類

定義 3.1. M を von Neumann 環としその中心を Z(M) := M ∩ M′ と表す. Z(M) = C1 となる時 M を factor と呼ぶ.

全ての von Neumann 環は factor の “直積分” で表される事が判っており, その意味で factor が最も基本的な von Neumann 環である.

Murray と von Neumann は次のような同値関係を projection の集合に定義し, その同値類を調べる事により factor を I, II, III 型に分類した.

定義 3.2. p, q ∈ Proj(M) に対して, p = v^{∗}v, q = vv^{∗} となる v ∈ M がある時, p ∼ q と定義する. これは同値関係である.

定理 3.3. Proj(M)/∼ は次の 5 種類になる. (I_{n}) {0, 1, 2, ⋯, n}, (I_{∞}) {0, 1, 2, ⋯, ∞}, (II_{1}) [0, 1], (II_{∞}) [0, +∞], (III) {0, +∞}.

I 型 factor は全て B(ℌ) と同型で, I_{dim ℌ} 型となる事が判っている.

II_{1} 型は最も基本的な factor であり, 次の様に特徴付けられる.

定理 3.4. M を無限次元 von Neumann 環とする. M を II_{1} 型 factor である事と, M に次のような τ ∈ M^{∗} が一意的に存在する事が同値.

(1) τ(x^{∗}x) ≥ 0 かつ τ(x^{∗}x) = 0 ⇔ x = 0. (正値性と忠実性).

(2) τ(1) = 1. (∥τ∥ = 1). (3) τ ∈ M_{∗}. (normality).

(4) τ(x^{∗}x) = τ(xx^{∗}). (trace の条件). この四つを満たす物を faithful normal tracial state と呼び, (1), (2), (3) を満たす物を faithful normal state と呼ぶ.

上の τ を使うと p ∼ q ⇔ τ(p) = τ(q) と特徴付けられる.

II_{∞} 型 factor は II_{1} 型 factor と I_{∞} 型 factor のテンソル積で書ける事が判っているので, II 型 factor の研究は大体において II_{1} に帰せられる. また II_{∞} factor も τ(1) = +∞ となるような trace を持っており， I, II 型 factor は trace をもつ factor としても特徴付けられる. Trace を測度論での測度の類似と見なす事により，測度論の結果のかなりの部分が作用素環論で一般化できる.

4 冨田-竹崎理論

III型factor にはトレースが存在しないため, その解析は困難を極めたが, 冨田-竹崎理論により III 型 factor の解析が可能となった.

φ を M の faithful normal state とする. M に内積を ⟨x, y⟩ := φ(y^{∗}x) で定義し, この完備化を ℌ_{φ} と置く. M を ℌ_{φ} の元とみなす時は, x̂ と表す事とする. M の ℌ_{φ} への表現 π_{φ} を π_{φ}(a)x̂ := âx と置くと π_{φ} は連続な M から B(ℌ_{φ}) の中への同型写像となる.

ここでまず M が II_{1} 型 factor で φ = τ の場合を考える. Jx̂ = x̂^{∗} という作用素を考える. トレース条件から ⟨x̂, ŷ⟩ = ⟨Jy, Jx̂⟩ がわかり, J は ℌ_{τ} 上の onto isometry(但し conjugate linear) となる. そしてこの時実は Jπ_{τ}(M)J = π_{τ}(M)′ と J によって π_{τ}(M) と π_{τ}(M)′ が関係付けられる.

III 型 factor の場合には trace が存在しないので, 上の様な x̂ → x̂^{∗} を考えてもこれは内積を保存しない. なおかつこれは非有界作用素となる. しかしながらこの作用素は可閉である事がわかるので, その閉包 S を考える. そして S の極分解を考える, というのが冨田-竹崎理論のアイディアである. 実際これは S = JΔ^{\frac{1}{2}} の形に極分解でき (Δ = S^{∗}S), 次の冨田の基本定理が成立する.

定理 4.1. J は ℌ_{φ} 上の conjugate linear な onto isometry で J^{2} = 1 を満たし, Δ は自己共役作用素で次が成立.

(1) Jπ_{φ}(M)J = π_{φ}(M)′. (2) Δ^{it}π_{φ}(M)Δ^{−it} = π_{φ}(M).

(2) から M の一径数自己同型群 {σ_{t}^{φ}} が Δ^{it}π_{φ}(a)Δ^{−it} = π_{φ}(σ_{t}^{φ}(a)) で定まる. これを φ に関するモジュラー自己同型群と呼ぶ.

モジュラー自己同型群 σ_{t}^{φ} は次のモジュラー条件を満たす.

定理 4.2. D := {z ∈ C | 0 < ℑz < 1} と置く. 任意の x, y ∈ M に関し, D で正則, D̄ で有界連続な関数 F (z) があって φ(σ_{t}^{φ}(y)x) = F (t), φ(xσ_{t}^{φ}(y)) = F (t + i) を満たす.

上の条件は “analytic な元”a, b に対して φ(ab) = φ(σ_{i}^{φ}(b)a) が成り立つとも解釈でき, trace 条件に捻りを入れたものと捉えることもできる.

5 III 型 factor の構造

M を III 型 factor, φ を faithful normal state とする. ここで接合積 M ⋊_{σ^{φ}} R(=: M̃) を考える. 接合積の定義はここではしないが, 大雑把にいって M ⋊_{σ^{φ}} R は v_{t}av_{t}^{∗} = σ_{t}^{φ}(a), a ∈ M の関係をみたす一径数ユニタリ v_{t} と M で生成される von Neumann 環である.

M̃には次の様な一径数自己同型θ_{t} が定まる. θ_{t}(a) = a, a ∈ M, θ_{t}(v_{s}) = e^{−its}v_{s}.

III 型 factor の構造定理は次の様に述べられる.

定理 5.1. M̃ にはトレース τ が存在し (但し今の場合 τ(1) = ∞), かつ τθ_{t} = e^{−t}τ を満たす. そして, M ≅ M̃ ⋊_{θ} R が成立する.

M̃ は II_{∞} 型 von Neumann 環であり (factor とは限らない), 上の結果は III 型 factor の研究は II 型 factor とその上の自己同型群の研究に帰着され得る, という事を示している. これを連続接合積分解と呼ぶ.

上記トレース τ がどの様に得られるかだけ簡単に説明する. a ∈ M̃ に対し, F (a) := ∫_{−∞}^{∞} θ_{t}(a)dt と定める. すると「F (a) ∈ M となる事」が証明される. (実はこれは正確な statement ではないので括弧付きで書いてある.) φ̃(a) := φ(F (a)) と置く. 一方で Stone の定理から, v_{t} = h^{it} となる自己共役作用素 h が存在するので, φ̃(h^{−1}a) を考えると (これも正確な定義を与えるには議論が必要), これが上記の τ となる.

次に III 型 factor の更に細かい分類について説明する. Z(M̃) と θ_{t} の Z(M) への制限を考える. Z(M) は可換な von Neumann 環なので, L^{∞}(X, ν) と表せ, θ_{t} は X 上の非特異な一径数の写像 F_{t}(これを flow と呼ぶ) を θ_{t}(f)(x) = f(F_{−t}x) によって定める. (X, ν, F_{t}) を M の flow of weights と呼ぶ. これは M の重要な代数的不変量である. 今の場合 θ_{t} はエルゴート的である事が証明される. (Z(M) の θ_{t} での不動点が C になるという事.) このような flow は次の 3 種類に分類できる. (III_{0}) (X, F_{t}) は非周期的で, 全ての x について軌道 {F_{t}x | t ∈ R} は測度 0 の集合である. (III_{λ}) 0 < λ < 1 なる実数があって, X = [0, − log λ) かつ θ_{t} は x → x + t mod (− log λ)R となる. つまり周期が − log λ の flow. (III_{1}) X は一点. (つまり Z(M̃) = C.) もちろん θ_{t} は自明である.

それぞれに応じて III_{0} 型, III_{λ} 型, III_{1} 型と呼ぶ.

ここで III_{λ} 型についてもう少し見てみる. M̃ が L^{∞}[0, − log λ) ⊗ N と II_{∞} 型 factor N と Z(M̃) のテンソル積で書けているとする. (実はそうなっている事が証明できる.) そのトレースを τ_{N} とおく. M̃ のトレース τ は τ_{N} と [0, − log λ) のルベーグ測度の直積である. θ_{0} := θ_{− log λ} と置く. Flow の周期性から θ_{0} は丁度 Z(M̃) の上では自明になっている. よって θ_{0} は N の自己同型となっている. また τθ_{t} = e^{−t}τ の関係から, τθ_{0} = λτ となっている事がわかる. こうして N とその上の自己同型 θ_{0} で τ_{N} θ = λτ_{N} となる物が得られる.

この時次の離散接合積分解が成り立つ.

定理 5.2. 上の記号で M ≅ N ⋊_{θ_{0}} Z が成立する.

よって III_{λ} 型 factor の研究は II_{∞} 型 factor とその上の自己同型に帰着される事がわかり, 結局これは II_{1} 型 factor の自己同型群の研究が重要な事を示唆しているのだが, この点については参考文献を参照の事.

また III_{0} 型 factor に関しても上と同様の離散接合積分解がある. これについては説明しないが, 非周期的な flow がいわゆる天井関数構成法で得られる事と関係している.

参考文献

[1] Connes, A., On the classification of von Neumann algebras and their automorphisms, Symp. Math. XX (1976), 435–478.

[2] Connes, A., Noncommutative Geometry, Academic Press, (1994).

[3] Sakai, S., C^{∗}-algebras and W^{∗}-algebras, Springer-Verlag, (1971).

[4] Takesaki, M., Theory of Operator Algebras I, Springer-Verlag, (1979).

[5] Takesaki, M., Structure of factors and automorphism groups, CBMS regional conference series in mathematics, 51, (1982).

[6] 竹崎正道, 作用素環の構造, 岩波書店, (1983).