群作用の不変量入門

増田俊彦 (高知大理)

1 序

作用素環上の群作用は Murray-von Neumann の昔から研究されてきたが, A. Connes による II_{1} 型 AFD factor への自己同型の分類の成功以来, 作用素環への群作用の研究は大きな進展を見せた.

Connes の自己同型の分類の動機は III 型 factor の分類であるが, [2] 及び [3] で Connes は II_{1} 型 AFD factor 上の自己同型の外部共役類を完全に分類し, これと [1] によってほとんど全ての AFD factor の分類に成功し, 「壮大な AF 因子環論構造論の金字塔を打ち立てたのである.」 (括弧内は竹崎先生の「作用素環の構造」 (9 月に岩波書店より復刊) の IX 章章末解説より引用. )

この仕事を受けて, [4] で Jones は Connes が [3] で外部共役類の不変量として導入した障害因子を一般化した特性不変量を導入し, AFD II_{1} 型 factor への有限群の作用を (コサイクル) 共役という同値関係で完全に分類した. この結果はすぐに Ocneanu によって [8] で一般の離散従順群の場合に拡張された. これらの結果は III 型 factor にも拡張され, [9], [7],

[6] によって完全に解決された.

今回の話では, おもに Connes, Jones, Ocneanu によって得られた II_{1} 型 factor への群作用の分類について話したいと思う. この予稿では特性不変量の定義と分類定理の内容だけを書く事にとどめ, より詳しい話 (作用の構成や証明の筋道等) は講演で説明する事にする.

なお群作用の解説に関しては [10] や日本語で書かれた [5] 等があるので興味のある方はそちらも参照していただきたい.

2 群作用の不変量と分類定理

定義 2.1 M を von Neumann 環, G を局所コンパクト群とする.

(1) α が G の M への作用とは, G から Aut (M) への連続群準同型である事である. (連続性の定義には Aut (M) にどのような位相入れるかが問題であるが, この点については講演で話す事にする.)

(2) α を G の作用とする. {u_{g}}_{g∈G} ⊂ U(M) が α-(1 次ユニタリ) コサイクルであるとは, u_{gh} = u_{g}α_{g}(u_{h}) が成立する事である.

(3) β を別の G の作用とする. この時 α と β がコサイクル共役であるとは, θ ∈ Aut (M) と α-コサイクル u_{g} が存在して

Ad u_{g}α_{g} = θβ_{g}θ^{−1}

となる事である.

注意として u_{g} が α-コサイクルなら Ad u_{g}α_{g} もまた G の作用である.

以下 M はいつでも II_{1} 型 factor, G を離散群とし, α を G の作用とする. 以下群作用の不変量を如何に定義するかを説明する.

G の正規部分群 N_{α} を

N_{α} := {n ∈ G|α_{n} ∈ Int(M)}

と定義する. この時 n ∈ N_{α} に対して M のユニタリ u_{n} が Ad u_{n} = α_{n} となるようにとれる. すると α_{m}α_{n} = α_{mn} 及び α_{g}α_{g^{−1}ng}α_{g}^{−1} の二つの式を比べることにより, 二つのスカラー λ(g, n), μ(m, n) が

α_{g}(u_{g^{−1}ng}) = λ(g, n)u_{n}, u_{m}u_{n} = μ(m, n)u_{mn}

となるようにとれる. (もちろん m, n ∈ N_{α}, g ∈ G である.) この二つのスカラーは無関係でなく次の関係式を満たす.

μ(l, m)μ(lm, n) = μ(m, n)μ(l, mn),
λ(gh, n) = λ(g, n)λ(h, h^{−1}nh),
λ(m, n) = μ(m, m^{−1}nm)\overline{μ(n, m)},
λ(g, mn)\overline{λ(g, m)λ(g, n)} = μ(m, n)\overline{μ(g^{−1}mg, g^{−1}ng)},
λ(1, m) = λ(g, 1) = μ(1, n) = μ(m, 1) = 1.

この (λ, μ) の組の集合を Z(G, N_{α}) とおく.

上のユニタリ u_{n} の決め方にはもちろん絶対値 1 のスカラー倍の任意性があるが, u_{n} を c_{n}u_{n}, c_{n} ∈ T と置き換えれば, λ, μ の代わりに c_{g^{−1}ng}\overline{c_{n}}λ(g, n) と c_{m}c_{n}\overline{c_{mn}}μ(m, n) が得られるので, これを同値関係として, この同値関係で Z(G, N_{α}) を割った空間を Λ(G, N_{α}) とおく. そして, α から上の様にして得られた [λ, μ] ∈ Λ(G, N_{α}) を Λ(α) と書き, α の特性不変量と呼ぶ.

以下の定理が Connes, Jones, Ocneanu によって得られた分類定理である.

定理 2.2 R を II_{1} 型 AFD factor, G を離散従順群, α, β を G の R への作用とする. すると α と β がコサイクル共役であるための必要十分条件は N_{α} = N_{β} 及び Λ(α) = Λ(β) となる事である.

参考文献

[1] Connes, A., Classification of injective factors, Ann. Math. 104 (1976), 73–115.

[2] Connes, A., Outer conjugacy classes of automorphisms of factors, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 8 (1975), 383–420.

[3] Connes, A., Periodic automorphisms of the hyperfinite factor of type II_{1}, Acta. Sci. Math. 39 (1977), 39–66.

[4] Jones, V. F. R., Actions of finite groups on the hyperfinite type II_{1} factor. Memoirs of Amer. Math. Soc. 237, (1980).

[5] 片山良一, 超有限的因子環への群作用の分類, 数学第 48 巻 1–11.

[6] Katayama, Y., Sutherland, C., and Takesaki, M., The characteristic square of a factor and the cocycle conjugacy of discrete group actions on factors, Invent. Math. 132 (1998), 331–380.

[7] Kawahigashi, Y., Sutherland, C., and Takesaki, M., The structure of the automorphism group of an injective factor and the cocycle conjugacy of discrete abelian group actions, Acta. Math. 169 (1992), 105–130.

[8] Ocneanu, A., Actions of discrete amenable groups on von Neumann algebras, Lecture Notes in Math. 1138 (1985), Springer, Berlin.

[9] Sutherland, C. and Takesaki, M., Actions of discrete amenable groups on injective factors of type III_{λ}, λ ≠ 1. Pac. J. Math. 137 (1989), 405–444.

[10] Takesaki, M., Cocycle conjugacy of group actions on factors, Proc. Symposia in pure mathematics 51 (1990), 539–560.