III_{λ} 型 (0 ≤ λ < 1)SUBFACTOR への群作用の分類

増田俊彦 (東大数理)

今回の話は, subfactor へ群が作用する時にいい条件の下で分類ができる事についてである. ここで分類の意味であるが, Connes の自己同型の分類以来, 作用の分類は以下に述べるコサイクル同値によって分類するのが最も自然である事がわかっている.

Definition 1. G を群, N ⊂ M を von Neumann 環として, α が G から Aut (M, N) への準同型写像である時 α を G の N ⊂ M への作用という.

{v_{g}}_{g∈G} ⊂ U(N) が α コサイクルであるとは, v_{gh} = v_{g}α_{g}(v_{h}) がなりたつ時をいう.

二つの作用 α と β がコサイクル同値であるとは, σ ∈ Aut (M, N) と β コサイクル {v_{g}} ⊂ N が存在して, σ ∘ α_{g} ∘ σ^{−1} = Ad v_{g}β_{g} が成り立つ事である.

以下 subfactor の場合にどのような分類結果が得られているかをまず説明し, その後今回私が得た結果についてその内容について説明したいと思う,

N ⊂ M を index 有限な subfactor とし, E を M から N への minimal conditional expectation とする. そして

N ⊂ M ⊂ M_{1} ⊂ M_{2} ⊂ ⋯

を basic construction とする. α ∈ Aut (M, N) をとってくると, 各段階での Jones projection を fix するよう定義する事によりこれは帰納的に M_{n} 上の自己同型に拡張できる.

Definition 2 ([1, Definition 1],[2, Section 5], [5, Definition 1.5.1]). α が strongly outer であるとは, a ∈ ∪_{k}M_{k} が, 任意の x ∈ N について α(x)a = ax を満たすなら a = 0 となる事である.

またこの時 Φ(α) := {M′ ∩ M_{k}}_{k} と置き, Loi 不変量という.

α を G の N ⊂ M への作用とすると明らかに Φ(α) はコサイクル同値に関して不変になっているが, これがいつ完全不変量になるかについての答えが次の Popa の定理である.

Theorem 3 ([5, Theorem 3.1]). N ⊂ M を strongly amenable な II_{1} subfactor とする. G を離散従順群としたとき, G の二つの作用 α と β がともに strongly outer であるとき, α と β がコサイクル同値になる必要十分条件は,

Φ(α) = Φ(β)

となる事である.

これを使うと II_{∞}subfactor への群作用の分類も次の様にわかる.

Theorem 4 ([9, Theorem 4.3]). N ⊂ M を strongly amenable な II_{∞}subfactor とし, G, α, β は前の定理の仮定と同じとする. このとき α と β がコサイクル同値となる条件は

Φ(α) = Φ(β), mod α = mod β

となる事てある.

以上は II 型の場合であったが, III 型の場合には strongly outerness の代りに以下に定義する strongly freeness という性質が重要となる.

ϕ を N の normal faithful state とし,

Ñ ⊂ M̃ := N ⋊_{σ^{ϕ}} R ⊂ M ⋊_{σ^{ϕ∘E}} R

とおく. すると α ∈ Aut (M, N) は Ñ ⊂ M̃ へ canonical に α̃ に拡張できる. これをさらに Jones tower

Ñ ⊂ M̃ ⊂ M̃_{1} ⊂ M̃_{2} ⊂ ⋯

に拡張する.

Definition 5 ([10, Definition 4.2]). α が strongly free であるとは, a ∈ ∪_{k}M̃_{k} が, 任意の x ∈ Ñ について α̃(x)a = ax を満たすなら a = 0 となる事である.

またこの時 Υ(α) := {M̃′ ∩ M̃_{k}}_{k} と置く.

以下では N ⊂ M は strongly amenable な III_{λ} 型 subfactor とする. 正確な定義は省略するが、今の場合では Z(Ñ) = Z(M̃) =: L^{∞}(X, μ) かつ strongly amenable な II_{∞} 型 subfactorP ⊂ Q があって Ñ ⊂ M̃ ≅ L^{∞}(X, μ) ⊗ (P ⊂ Q) となっている物と思ってよい. (詳しくは [11] を参照の事.)

今回の私の話の主要結果は以下の通りである.

Theorem 6 ([3, Theorem 3.1],[4, Theorem 3.1]). N ⊂ M を strongly amenable な III_{λ} 型 subfactor(但し λ ≠ 1) とする. G を離散従順群, α, β を G の N ⊂ M への strongly free な作用とする. この時, α と β がコサイクル同値となる必要十分条件はある σ ∈ Aut (F^{M⊃N}) があって, Υ(α) = σ ∘ Υ(β) ∘ σ^{−1} となる事である. ここで

Aut (F^{M⊃N}) := {{σ_{k}}_{k}| σ_{k} ∈ Aut (M̃′ ∩ M̃_{k}, M̃′_{1} ∩ M̃_{k}), σ_{k}θ_{t} = θ_{t}σ_{k}, σ_{k}|_{M̃′∩M̃_{k−1}} = σ_{k−1}}

である. 但し, θ_{t} は通常の trace scaling automorphism である.

この結果を single factor の群作用の分類と比べてみる. 上の Υ(α) の定義において, 特に k = 0 の部分をみると, α̃ の M̃ の center への制限となっており, これは Conne-Takesaki module と一致する. よって Υ(α) は Connes-Takesaki module の subfactor 理論での類似とも思える事ができる. また strongly free という性質は single factor では centrally free という性質と対応している.

AFD factor への離散従順群の centrally free な作用については, Connes-Takesaki module で分類される事がわかっているが, 上の主要定理の内容は正にこの結果と対応している.

証明については, single factor における [7], [8] の場合と同様で, N ⊂ M の G の作用の問題を, Ñ ⊂ M̃ への G×R の作用の分類に帰着した後, これを直積分分解を使って, strongly amenable な II_{∞} 型 subfactor への離散従順亜群の作用の問題に帰着し, そこで Theorem 4 の結果と, Cohomology lemma ([6, Theorem 5.5]) を使って分類を完成する. 詳しくは [3],[4] を参照されたい.

References

[1] Choda, M., and Kosaki, H., Strongly outer actions for an inclusion of factors, J. Funct. Anal. 122, 315–332, (1994).

[2] Loi, P., On Automorphisms of subfactors, J. Funct. Anal. 141, 275–293.

[3] Masuda, T., Classification of actions of discrete amenable groups on strongly amenable subfactors of type III_{λ}, preprint, (1997).

[4] Masuda, T., Classification of strongly free actions of discrete amenable groups on strongly amenable subfactors of type III_{0}, preprint, (1997).

[5] Popa, S., Classification of actions of discrete amenable groups on amenable subfactors of type II

[6] Sutherland, C., A Borel parameterization of Polish groups, Publ. RIMS. 21, 1067–1086, (1985).

[7] Sutherland, C., and Takesaki, M., Actions of discrete amenable groups and groupoids on von Neumann algebras, Publ. RIMS. 21, 1087–1120, (1985).

[8] Sutherland, C., and Takesaki, M., Actions of discrete amenable groups on injective factors of type III_{λ}, λ ≠ 1. Pac. J. Math. 137, 405–444, (1989).

[9] Winsløw, C., Strongly free actions on subfactors, Internat. J. Math. 4, 675–688, (1993).

[10] Winsløw, C., Approximately inner automorphisms on inclusions of type III_{λ} factors, Pac. J. Math. 166, 385–400, (1994).

[11] Winsløw, C., Classification of strongly amenable subfactors of type III_{0}, J. Funct. Anal. 148, 296– 313, (1997).