III_{1} 型部分因子環における relative bicentralizerについて

増田俊彦 (高知大学)

1 序

AFD III_{1} 型因子環の一意性は良く知られている様に, [1] と [5] によって解決された. 即ち [1] で Connes は AFD III_{1} 型因子環が trivial bicentralizer を持てば, これが荒木-Woods の無限テンソル積因子環 ℛ_{∞} に同型である事を示した. そして, Haagerup は AFD III_{1} 型因子環はいつでも trivial bicentralizer を持つ事を示し, AFD III_{1} 型因子環の一意性を確立した.

この講演では, 部分因子環への bicentralizer の一般化を説明し, その応用として III_{1} 型部分因子環における symmetric enveloping algebra と Longo-Rehren 部分因子環の関係を論じる. なお部分因子環理論に関しては例えば, [4], [7] 等を参照されたい.

2 Relative bicentralizer の定義と性質

𝒩 ⊂ ℳ を [ℳ : 𝒩] < ∞ である部分因子環とする. E を minimal な ℳ から 𝒩 への条件付き期待値とする. (以下特に断らない限り, 条件付き期待値は minimal なものだけを考える.) E を 𝒩′ ∩ ℳ に制限したとき, これは trace になっている事に注意.

定義 2.1 φ を ℳ の faithful normal state で φ ∘ E = φ となる物とする.

(1) C(φ) := {{x_{n}} ∈ ℓ^{∞}(N, 𝒩) | ∥[φ, x_{n}]∥ → 0} とする.

(2) B(φ) := {a ∈ ℳ | 全ての{x_{n}} ∈ C(φ) に対して[x_{n}, a] → 0 σ-strongly} と定義し, これを φ に関する relative bicentralizer と呼ぶ.

𝒩 = ℳ の時が通常の bicentralizer である. ([5] 参照.) 上の定義から 𝒩′ ∩ ℳ ⊂ B(φ) ⊂ 𝒩′_{φ} ∩ ℳ が直ちにわかる. もちろん B(φ) = 𝒩′ ∩ ℳ となる場合が重要である. [5] と同様次が成立する.

命題 2.2 δ > 0, a ∈ ℳ に対して C(a, φ) を次の様に定義する.

C(a, δ) := \overline{conv}\{u^{∗}au | u ∈ U(𝒩), ∥[u, φ]∥ < δ\}.

但し閉包は σ-weak 位相でとる. この時次の (1) から (4) は同値.

(1) B(φ) = 𝒩′ ∩ ℳ.

(2) 任意の a と δ に対して C(a, δ) ∩ 𝒩′ ∩ ℳ ≠ ∅.

(3) 任意の a と δ に対し E_{𝒩′∩ℳ}^{φ} (a) ∈ C(a, δ).

(4) 任意の ψ ∈ ℳ_{∗} と δ に対し, ψ ∘ E_{𝒩′∩ℳ}^{φ} ∈ \overline{conv}\{uψu^{∗} | u ∈ U(𝒩), ∥[u, φ]∥ < δ\}. 上で E_{𝒩′∩ℳ}^{φ} は φ を保つ 𝒩′ ∩ ℳ への条件付き期待値である.

実際 (1) と (2) の同値性の証明から (3) との同値性が導かれる. (3) と (4) の同値性は duality argument による.

命題 2.2 の条件 (4) を使うと次の補題がわかる.

補題 2.3 B(φ) = 𝒩′ ∩ ℳ を仮定する. すると任意の ε, δ > 0 と ψ_{1}, ⋯, ψ_{n} ∈ ℳ_{∗} について, 次のような u_{1}, ⋯, u_{m} ∈ U(𝒩), λ_{1}, ⋯, λ_{m} > 0 が存在する.

(1) ∑_{i} λ_{i} = 1. (2) ∥[u_{i}, φ]∥ < δ, 1 ≤ i ≤ m. (3) P (x) := ∑_{i} λ_{i}u_{i}^{∗}xu_{i} と定義した時, ∥ψ_{j} ∘ P − ψ_{j} ∘ E_{𝒩′∩ℳ}^{φ} ∥ < ε, 1 ≤ j ≤ n.

証明は命題 2.2 の条件 (4) と帰納法を使ってできるが, 一ヶ所 𝒩′ ∩ ℳ が有限次元である事を使う. (使わなくてもできるかもしれないが.) もっと詳しく書くと, 𝒩′ ∩ ℳ 上では, φ からくる L^{1} ノルムと普通のノルムが同値である事を使う. (φ の 𝒩′ ∩ ℳ への制限は tracial state になる事に注意.)

3 III_{1} 型部分因子環

この節では特に断らない限り, 𝒩 ⊂ ℳ は指数有限の AFD III_{1} 型因子環の包含関係とする. φ を φ ∘ E = φ を満たす dominant weight とし, 𝒩 ⊂ ℳ の II 型部分 𝒩̃ ⊂ ℳ̃ := 𝒩_{φ} ⊂ ℳ_{φ} を考える. もちろんこれは II_{∞} 型因子環の包含関係である. この部分因子環の standard invariant を以下 II 型の standard invariant と呼び, もとの部分因子環の方は III 型の standard invariant と呼ぶ事にする.

Haagerup の [5] の証明の出発点は Connes-竹崎の relative commutant theorem ℳ′_{φ}∩ℳ = C(= ℳ′ ∩ ℳ)([3]) であった.

Popa は [5] での Haagerup の議論を部分因子環の場合に一般化して次の定理を導いた.

定理 3.1 ([11]) Dominant weight φ に対して, 𝒩′_{φ} ∩ ℳ = 𝒩′ ∩ ℳ が成立するなら, 𝒩 の faithful normal state ψ で ψ ∈ 𝒩_{∗} で 𝒩′_{ψ} ∩ ℳ = 𝒩′ ∩ ℳ となる物が存在する.

ちなみに結論は, [11] における部分因子環の central freeness という概念と関係がある事を一言書き添えておく.

定理 3.1 の条件を満たす部分因子環に対しては, B(ψ) = 𝒩′ ∩ ℳ が成立するので, 命題 2.2, 補題 2.3 の結果が全て成り立つ.

また Connes-Størmer transitivity ([2]) を使う事により, B(ψ) = 𝒩′ ∩ ℳ となる 𝒩faithful normal state が一つ存在すれば, すべての 𝒩 の faithful normal state φ について B(φ) = 𝒩′ ∩ ℳ が成立する事が, [5] と同様の議論によってわかる.

𝒩 ⊂ ℳ ⊂ ℳ_{1} ⊂ ⋯ を Jones tower とし, 𝒩 ⊂ ℳ_{k} に対応する relative bicentralizer を B_{k}(φ) とかく事にする.

今 II 型 standard invariant と III 型 standard invariant が同じである事を仮定する. この仮定から 𝒩′_{φ} ∩ (ℳ_{k})_{φ} = 𝒩′ ∩ ℳ_{k} が dominant weight φ について成立する事がわかる. ここで, Connes-竹崎の relative commutant theorem の部分因子環版 𝒩′_{φ} ∩ ℳ = 𝒩′_{φ} ∩ (ℳ_{k})_{φ} が一般的に成立するので, 𝒩′_{φ} ∩ ℳ_{k} = 𝒩′ ∩ ℳ_{k} が成り立つ事がわかり, 定理 3.1 の仮定が満たされる事がわかる. こうして次の系を得る. これがこの後の議論で重要になってくる.

系 3.2 φ を 𝒩 の faithful normal state とする. 𝒩 ⊂ ℳ の II 型 standard invariant と III 型 standard invariant が同じであると仮定する. この時任意の k について, B_{k}(φ) = 𝒩′ ∩ ℳ_{k} である.

上の系と補題 2.3 を組み合わせると次が証明できる.

命題 3.3 系 3.2 と同じ仮定をし, 𝒩 の faithful normal state φ を一つ固定する. 任意の n に対して, {λ_{i}^{n}}_{i=1}^{m_{n}} ⊂ R_{+}, {u_{i}^{n}}_{i=1}^{m_{n}} ⊂ U(𝒩) が次の様にとれる.

(1) ∑ λ_{i}^{n} = 1. (2) 全ての i について ∥[u_{i}^{n}, φ]∥ < 1/n.

(3) P_{n}(x) := ∑_{i} λu_{i}^{n∗}xu_{i}^{n} とおく. 任意の ψ ∈ ℳ_{k} について, n → ∞ とした時. ∥ψ ∘ P_{n} − ψ ∘ E_{𝒩′∩ℳ_{k}}^{φ} ∥ → 0 となる.

4 Symmetric enveloping algebra

前節までの議論を応用して, III_{1} 型部分因子環に関する symmetric enveloping algebra をどう扱うか考察する. 前節の結果を用いるので, 以下この節では断らない限り, 𝒩 ⊂ ℳ は AFD III_{1} 型部分因子環で II 型 standard invariant と III 型 standard invariant が同じである事を仮定する.

Symmetric enveloping algebra は [13] で Popa が II_{1} 型部分因子環に対して定義した. しかしながら III 型に関しては, [13] では同様にできる, とだけあって詳しい構成法は提示されていない. そこで前節の話を使って, AFD III_{1} 型部分因子環から [13] と同様の議論でどのように symmetric enveloping algebra を構成するか説明する.

ℳ が L^{2}(ℳ) に作用していると考える. J をモジュラー反転作用素とすると, ℳ′ = JℳJ であるが以下場合によって ℳ^{opp} と同一視する事もある. ここで B(L^{2}(ℳ)) の部分 C^{∗} 環 C^{∗}(ℳ, e_{𝒩} , JℳJ) を考える. この C^{∗} 環の上に適当な state を定義して GNS 表現をつくる事を考える.

そのためにまず tunnel ℳ ⊃ 𝒩 := 𝒩_{1} ⊃ 𝒩_{2} ⊃ ⋯ を一つ固定する. e_{−k} ∈ 𝒩_{k} を 𝒩_{k+2} ⊂ 𝒩_{k+1} に対する Jones projection とする. よって 𝒩_{k} = ⟨𝒩_{k+1}, e_{−k}⟩ が成立する. e_{1} := e_{𝒩} とおき, k ≥ 2 に対して, e_{k} := Je_{2−k}J とする. すると {e_{k}}_{k=∞}^{∞} は Jones projection の両側列になっており, よくしられた Jones の関係式を満たす. そこで帰納的に k ≥ 1 に対して, ℳ_{k} := Alg(ℳ_{k−1}, e_{k}) と定義する. これは普通の Jones tower に代数的に同型であるが, 今の場合 σ-weak 位相で閉じている.

補題 4.1 ⋃_{k} ℳ^{opp}ℳ_{k}ℳ^{opp} は C^{∗}(ℳ, e_{𝒩} , JℳJ) の稠密な部分 ∗ 代数である. (ℳ^{opp} と JℳJ を同一視している事に注意.)

実際 (ℳ^{opp}ℳ_{k}ℳ^{opp})(ℳ^{opp}ℳ_{k}ℳ^{opp}) ⊂ ℳ^{opp}ℳ_{2k}ℳ^{opp} である事が容易にチェックできる. ここで x^{opp}yz^{opp} ∈ ℳ^{opp}ℳ_{k}ℳ^{opp} に対し, (肩に opp がついた物は ℳ^{opp} の元とする.)

ℰ^{φ}(x^{opp}yz^{opp}) = x^{opp}E_{ℳ′∩ℳ_{k}}^{φ} (y)z^{opp} と ℰ を定義する. E_{ℳ′∩ℳ_{k}}^{φ} (y) ∈ ℳ′ = JℳJ なので ℰ^{φ} の像は JℳJ に入る. これが C^{∗}(ℳ, e_{𝒩} , JℳJ) から JℳJ への norm 1 projection になっている事を以下説明する.

命題3.3でのP_{n} をもってくる. (但し今は𝒩 の変わりにℳ で考える.) するとlim_{n} P_{n}(x) = E_{ℳ′∩ℳ_{k}}^{φ} (x) である. さらに P_{n} を B(L^{2}(ℳ)) 上の写像として考えておく. すると ℰ は

ℰ^{φ}(x^{opp}yz^{opp}) = x^{opp}E_{ℳ′∩ℳ_{k}}^{φ} (y)z^{opp}
= lim_{n} x^{opp}P_{n}(y)z^{opp}
= lim_{n} ∑_{i} λ_{i}^{n}x^{opp}u_{i}^{n∗}yu_{i}^{n}z^{opp}
= lim_{n} ∑_{i} λ_{i}^{n}u_{i}^{n∗}x^{opp}yz^{opp}u_{i}^{n}
= lim_{n} P_{n}(x^{opp}yz^{opp})

と与えられる事になる. この事を使うことにより, ℰ^{φ} が well-defined である事や norm 1 projection である事が導かれる.

ξ_{φ} ∈ L^{2}(ℳ)^{+} を φ の representing vector として, ψ(x) := ⟨ℰ^{φ}(x)ξ_{φ}, ξ_{φ}⟩ と ψ を定義する. そして ψ による GNS 表現を考え, ℳ ⊠_{e_{𝒩}} ℳ^{opp} := π_{ψ}(C^{∗}(ℳ, e_{𝒩} , ℳ^{opp}))′′ と定義してこれを 𝒩 ⊂ ℳ に対する symmetric enveloping algebra と呼ぶ事にする.

ここで Popa の II_{1} 型部分因子環からの symmetric enveloping algebra の構成との比較を説明する. [13] では上の φ の変わりに trace を用いている. また上の P_{n} での対応物としては次の relative Dixmier property を用いている.

定理 4.2 ([12]) 𝒩 ⊂ ℳ を指数有限の II_{1} 型部分因子環とする. すると任意の x ∈ ℳ に対して

𝒩′ ∩ ℳ ∩ \overline{conv}\{uxu^{∗} | u ∈ U(𝒩)\} = \{E_{𝒩′∩ℳ} (x)\}

である. ここで閉包はノルム位相で考える. 又 E_{𝒩′∩ℳ} は trace を保つ条件付き期待値である.

特にノルム位相で良い点が重要な点である. 上の III_{1} 型での構成では C^{∗}(ℳ, e_{𝒩} , JℳJ) 上で state を構成したが, II_{1} の場合には relative Dixmier property を使う事により, universal な C^{∗} 環 C_{max}^{∗}(ℳ, e_{𝒩} , ℳ^{opp}) 上で上と同様の議論を行う事ができる. III_{1} の場合には少なくとも universal な構成は今の所わからない.

5 Longo-Rehren 部分因子環との関係

とにかくも III_{1} 型 factor 𝒩 ⊂ ℳ に関して, ℳ ⊠_{e_{𝒩}} ℳ^{opp} は定義されたが, これだけではこの環の構造はあまりわからない. そこでこれと Longo-Rehren 部分因子環とを比較する事で何かしらの結論を出したいと思う.

Longo-Rehren 構成法は [9] で導入された, 有限のセクターのシステムから因子環の包含関係を構成する方法である. 以下で Longo-Rehren 構成法の接合積的な構成を説明する. (オリジナルの構成については [9] を参照の事.) なおセクターの一般論については例えば冒頭にあげた文献の他 [8], [6] を参照されたい.

Δ := {[ρ_{i}]_{i∈I}} ⊂ Sect(ℳ) を既約セクターの集合で, 共役及び合成で閉じている物とする. (I は高々可算とする. ) ここで合成について閉じているとは, [ρ_{i}ρ_{j}] の既約成分が全て Δ に入っている事である. これよりすぐ [id] ∈ Δ である事がわかる. 以下 ρ_{0} = id としておく. 添字集合 I には fusion algebra の構造が自然に入る.

ℳ から ℳ^{opp} への共役線型自己同型 j を j(x) = x^{∗} と定める. Δ の代表元 {ρ_{i}}_{i∈I} をとってきて, intertwiner space (ρ_{k}, ρ_{i}ρ_{j}) の正規直交基底 {v(_{i,j}^{k})^{e}}_{e=1}^{N_{i,j}^{k}} を持ってくる. ここで canonical intertwiner ṽ_{i,j}^{k} ∈ ℳ ⊗ ℳ^{opp} を ṽ_{i,j}^{k} := \sqrt{\frac{d(ρ_{i})d(ρ_{j})}{d(ρ_{k})}} ∑_{e} v(_{i,j}^{k})^{e} ⊗ j(v(_{i,j}^{k})^{e}) と定義する. これは正規直交基底の取り方によらず定まる.

以下簡単のため A := ℳ ⊗ ℳ^{opp} とおき, ρ ∈ End(ℳ) に対して, ρ̃ = ρ ⊗ jρj^{−1} ∈ End(A) と書く.

i ∈ I に対し H_{i} := L^{2}(A) とし, ⨁_{i∈I} H_{i} 上に A の表現 π と {V_{i}}_{i∈I} を次の様に定める.

(π(x)ξ)(i) := ρ̃_{i}(x)ξ(i),

(V_{i}ξ)(j) := ∑_{k} ṽ_{j,i}^{k}ξ(k)

すると V_{i}π(x) = π(ρ̃_{i}(x))V_{i}, V_{i}V_{j} = ∑_{k} π(ṽ_{i,j}^{k})V_{k} 及び V_{i}^{∗} = π(ṽ_{ī,i}^{0∗})Vī が成立する. V_{i} は接合積における implementing unitary と同様の働きをする事がこれよりわかる. (詳しくは [10] を参照の事.)

B を π(A) と {V_{i}} で生成される von Neumann 環とする. この時 B は factor となる.

定義 5.1 π(A) ⊂ B を Longo-Rehren 部分因子環 (若しくは包含関係) とよぶ.

Longo-Rehren 包含関係に対しては通常の群作用による接合積と類似の性質がなりたつ. 最も重要な事は, B から A への条件付き期待値の存在である. (以降 π(A) と A は同一視する.) それを E_{A} と表す事とする. x ∈ B に対して x_{i} := E_{A}(xV_{i}^{∗}) と置くと, x は形式的に x = ∑_{i∈I} x_{i}V_{i} と展開する事ができる. また Longo-Rehren 部分因子環に対しては, relative commutant property (ℳ ⊗ C)′ ∩ B = C ⊗ ℳ^{opp} が成立する.

ここまでの議論では ℳ は III 型 factor であれば十分である. 以降は 𝒩 ⊂ ℳ を前節と同様の物として, Δ は 𝒩 ⊂ ℳ に対する Longo の canonical endomorphism γ の巾に現れる既約セクターのシステムとする.

ここで前節の symmetric enveloping algebra と Longo-Rehren 部分因子環との関係について論じる. そのためにまず B 内に 𝒩 ⊂ ℳ と 𝒩^{opp} ⊂ ℳ^{opp} に共通な Jones projection を B 内に構成する. I_{0} := {i ∈ I | ρ_{i} ≺ γ} とする. Frobenius reciprocity から i ∈ I_{0} に対して (ι, ρ_{i}ι) ≠ ∅ であるので (ι は 𝒩 から ℳ への包含写像), この正規直交基底 {a_{i}^{e}} をとる事ができる. ã_{i} = ∑_{e} a_{i}^{e} ⊗ j(a_{i}^{e}) ∈ A と置いて,

e := [ℳ : 𝒩]^{−1} ∑_{i∈I_{0}} ã_{i}^{∗}V_{i}

とするとこれが求めるものである. B が A と e で生成される事も証明される. (証明は [10] を参照されたい.)

一旦 B 内に e が構成されると前節の symmetric enveloping algebra の構成と同様にして, B 内で 𝒩 ⊂ ℳ と 𝒩^{opp} ⊂ ℳ^{opp} に対する共通の Jones tower が構成される. つまり, 前の様に tunnel をとってきて, e_{k} = j(e_{2−k}) とすると, {e_{k}} は Jones projection の両側列となる. そして ℳ_{k} := Alg(ℳ_{k−1}, e_{k}) と帰納的に定義して Jones tower を B 内に作る..

φ を ℳ 上の faithful normal state で φ ∘ E = φ を満たす物とする. ψ_{1} := φ ⊗ φ^{opp} ∘ E_{A} とする.

命題 5.2 (1 ⊗ x^{opp})y(1 ⊗ z^{opp}) ∈ (C ⊗ ℳ^{opp})ℳ_{k}(C ⊗ ℳ^{opp}) に対して

ψ_{1}((1 ⊗ x^{opp})y(1 ⊗ z^{opp})) = φ^{opp}(x^{opp}E_{ℳ′∩ℳ_{k}}^{φ} (y)z^{opp})

が成立する.

命題 5.2 の証明は後回しにして, この式をよくみると右辺は C ⊗ ℳ^{opp} を ℳ^{opp} を同一視すれば, 前節の symmetric enveloping algebra の定義に出てきた ψ と同じ式である.

B が ψ_{1} による GNS 表現によって, L^{2}(B, ψ_{1}) に作用していると考える. C^{∗}(ℳ, e_{𝒩} , JℳJ) の ψ による GNS 表現からくるヒルベルト空間 H_{ψ} から L^{2}(B, ψ_{1}) へのユニタリ作用素 U を作る事ができる. U^{∗}BU = π_{ψ}(C^{∗}(ℳ, e_{N}, JℳJ))′′ もチェックできるので結局次を得る.

定理 5.3 ℳ ⊠_{e_{𝒩}} ℳ^{opp} ≅ B となる.

最後に命題 5.2 の大雑把な証明は以下の通りである. lim_{n} P_{n}(y) = E_{ℳ′∩ℳ_{k}}^{φ} (y) である事と ∥[u_{i}^{n}, φ]∥ < n^{−1} である事に気をつける. 後者の不等式は n が充分大なら φ と u_{i}^{n} が大体交換する事を示している. すると次の様な評価が出来る.

φ^{opp}(x^{opp}E_{ℳ′∩ℳ_{k}}^{φ} (y)z^{opp})
= φ ⊗ φ^{opp}(1 ⊗ x^{opp}E_{ℳ′∩ℳ_{k}}^{φ} (y)z^{opp})
= lim_{n} φ ⊗ φ^{opp} ∘ E_{A}((1 ⊗ x^{opp})P_{n}(y)(1 ⊗ z^{opp}))
= lim_{n} ∑_{i} φ ⊗ φ^{opp} ∘ E_{A}((1 ⊗ x^{opp})(λ_{i}^{n}(u_{i}^{n∗} ⊗ 1)y(u_{i}^{n} ⊗ 1))(1 ⊗ z^{opp}))
= lim_{n} ∑_{i}(u_{i}^{n}φu_{i}^{n∗}) ⊗ φ^{opp} ∘ E_{A}((1 ⊗ x^{opp})(λ_{i}^{n}y)(1 ⊗ z^{opp}))
∼ lim_{n} ∑_{i} φ ⊗ φ^{opp} ∘ E_{A}((1 ⊗ x^{opp})(λ_{i}^{n}y)(1 ⊗ z^{opp}))
= ψ_{1}((1 ⊗ x^{opp})y(1 ⊗ z^{opp})).

上の ∼ の部分は u_{i}^{n} と φ が大体交換する事を使っている. 上の議論を厳密にする事も容易である.

参考文献

[1] Connes, A., Type III_{1} factors, property L′_{λ} and closure of inner automorphisms, J. Operator Theory 13 (1985), 189–211.

[2] Connes, A. and Størmer, E., Homogeneity of the state spaces of factors of type III_{1}, J. Funct. Anal. 28 (1978), 187–196.

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