III_{λ} 型subfactor(λ ≠ 1)への群作用の分類について

増田俊彦 (東大数理)

作用素環論では, 昔から自己同型の研究は盛んに行われている. 今回私は subfactor 理論において, ある種の群作用の分類を行ったので, その結果を紹介したいと思う. 主要結果を述べる前に, 用語, 記号の定義を述べる.

定義 1 ([1],[2],[5],[9],[10]) N ⊂ M を index 有限の subfactor, E を minimal conditional expectation, ψ を N の faithful normal state とする. II 型の場合には extremal である事を仮定する. (a): α ∈ Aut (M, N) が strongly outer であるとは, a ∈ ∪_{k}M_{k} が任意の x ∈ N について, α(x)a = ax を満たすなら, a = 0 となる事である. そして, Φ(α) := {α|_{M′∩M_{k}}}_{k} とおき, これを Loi 不変量という. (b): (Ñ ⊂ M̃) := (N ⋊_{σ^{ψ}} R ⊂ M ⋊_{σ^{ψ∘E}} R) とおき, α ∈ Aut (M, N) に対し, α̃ を Ñ ⊂ M̃ へのcanonical extensionとしたとき, αが strongly free であるとは, a ∈ ∪_{k}M̃_{k} が任意のx ∈ Ñ について, α̃(x)a = ax を満たすなら, a = 0 となる事である. また Υ(α) := {α̃|_{M̃′∩M̃_{k}}}_{k} とおき, Υ(α) を fundamental homomorphism と呼ぶ. (c): N ⊂ M の relative flow of weights 上の automorphism を

Aut (F^{M⊃N}) := {{σ_{k}}_{k}| σ_{k} ∈ Aut (M̃′ ∩ M̃_{k}, M̃′_{1} ∩ M̃_{k}), σ_{k}θ_{t} = θ_{t}σ_{k}, σ_{k}|_{M̃′∩M̃_{k−1}} = σ_{k−1}}

とおく. 但し, θ_{t} は通常の trace scaling automorphism である.

定義 2 ([11]) N ⊂ M をIII型のindex有限なsubfactorとする. この時N ⊂ M がstrongly amenable であるとは, Z(Ñ) = Z(M̃)(=: L^{∞}(X, ν)) かつ (Ñ ⊂ M̃) ≅ L^{∞}(X, ν)⊗(P ⊂ Q) と表される事である. 但し P ⊂ Q は strongly amenable な II_{∞} subfactor である.

主要結果は以下の通りである.

定理 3 ([3], [4]) N ⊂ M を strongly amenable な III_{λ} 型の subfactor とする. 但し λ ≠ 1 である. G を離散従順群とし, α, β を G の N ⊂ M への strongly free な作用とする. その時 α と β が cocycle conjugate である必要十分条件は, ある σ ∈ Aut (F^{M⊃N}) があって, Υ(α) = σ ∘ Υ(β) ∘ σ^{−1} となる事である.

この結果を, single factor の場合と比較してみると, strongly free という条件は, single factor での centrally free という条件に対応し, fundamental homomorphism は, Connes-Takesaki module に対応している. そして single factor の場合では, centrally free な離散従順群の作用は, Connes-Takesaki module によって分類される事が知られており, 今回の私の結果は, この single factor の場合の subfactor 版と思う事ができる.

証明のための主要な道具は, Popa の II_{1} 型 subfactor への離散従順群の strongly outer な作用の分類結果と ([5]), groupoid の理論での cohomology 補題 ([6]) の二つである.

Popa の分類結果は次の通りである.

定理 4 ([5]) N ⊂ M を strongly amenable な II_{1} 型 subfactor とし, G を離散従順群, α と β を strongly outer な G の作用とする. この時, α と β が cocycle conjugate であるための条件は, Φ(α) = Φ(β) となる事である.

以下証明の方針を述べる. 基本的には, [7], [8] の方法と同様である. (1): G の作用 α を, Ñ ⊂ M̃ に持ち上げ, Ñ ⊂ M̃ 上への G × R の作用を考える. G の作用を分類するには, G × R の Ñ ⊂ M̃ ⊂ への作用を分類すればよい.

(X, ν, F_{t}) を M の flow of weights とした時, 直積分分解を使って亜群 (G × R) ⋉ X の P ⊂ Q への作用を以下の様に定める.

α̃_{g}(a) = ∫_{X}^{⊕} α̃_{(g,g^{−1}x)}(a(g^{−1}x))dν(x).

x ∈ X に対して,

H_{x} := {g ∈ G × R|gx = x}

とおくと, これは離散従順群となり, かつほとんど全ての x に対して, ある群 H に対し H = H_{x} となる. また H は P ⊂ Q に作用するが, その作用が strongly outer である事もわかる.

(X, ν, F_{t}) が天井関数構成法によって (Y, μ, T) から作られるとする. そして離散従順亜群 G := {(g, x)|g ∈ G × R, x, gx ∈ Y } の strongly amenable な II_{∞} 型 subfactor P ⊂ Q への作用に帰着させる. β̃ からも同様に G の作用を構成する. すると, mod (α̃) = mod (β̃), Φ(α̃) = Φ(β̃) である事が容易に確かめられる. もとの作用を分類するためには, この G の作用を分類すればよい.

(2): G = H ⋊ K と群の部分 H と同値関係の部分 K に分解して, H の部分を Popa の結果によって評価する. (1) の所で書いたように, H の P ⊂ Q への作用 α̃, β̃ は strongly outer な作用で, Φ(α̃) = Φ(β̃) かつ mod (α̃) = mod (β̃) なので, H の作用は cocycle conjugate である. よって x ∈ Y に対して, θ_{x} ∈ Aut (Q, P) と cocycle u_{h} が

θ_{x} ∘ α̃_{h} ∘ θ_{x}^{−1} = Ad u_{h} β̃_{h}

となる様とれる. そこで, G の作用 α̃_{γ} を θ_{r(γ)} ∘ α̃_{γ} ∘ θ_{s(γ)}^{−1} と取り替えて, h ∈ H について α̃_{h} = Ad u_{h} β̃_{h} となっているとしてもよい.

注意: 0 < λ < 1 の場合には, flow of weights の形が簡単なために, K の部分が, 自明な物となるので, (2) の時点で cocycle conjugate である事が示され, 以下の議論は不要となる.

(3): 次に K の部分を cohomology 補題によって評価する. 但し, h ∈ H については (2) ですでにあわせてあるので, θ_{r(k)} ∘ α̃_{k} ∘ θ_{s(k)}^{−1} = Ad w_{k} β̃_{k} かつ θ_{x} ∘ β̃_{h} ∘ θ_{x}^{−1} = Ad v_{h} β̃_{h}, h ∈ H, k ∈ K, x ∈ Y となるよう, β̃_{h} と inner automorphism の分を除いて交換する様な θ_{x} ∈ Aut (Q, P) を見つければよい. そのためには, \overline{Int}(Q, P) = Ker (mod ) ∩ Ker Φ である事と, subfactor 上の central sequence algebra での 1-cohomology 消滅定理の二つが必要となる. 後者については, single factor の場合での Ocneanu による central sequence algebra での 1-cohomology 消滅定理の証明と同様な方法で得る事ができる.

(4): (2), (3) の結果によって, G の元 γ を hk と H と K の元の積で現したとき, 簡単な計算と, 作用の conjugate class を適当に替える事により, α̃_{γ} = Ad b_{γ} β̃_{γ} となっている事がわかる. ただし b_{γ} は P のユニタリであるが, この時点では, b_{γ} が cocycle かどうかはわからない. γ_{1}, γ_{2} ∈ G にたいして b_{γ_{1}γ_{2}} と b_{γ_{1}} β̃_{γ_{1}}(b_{γ_{2}}) を比べると

b_{γ_{1}γ_{2}} = φ(γ_{1}, γ_{2}) b_{γ_{1}} β̃_{γ_{1}}(b_{γ_{2}}), φ(γ_{1}, γ_{2}) ∈ T

とスカラー倍の違いが生じる. (この φ はある条件を満たすが, それについてはここでは詳述しない. ) よって最後はこのスカラー倍の違いを取り除かなくてはならない.

そのためには, Sutherland-Takesaki によって構成されたモデル作用を使わなくてはならない.

定理 5 ([7]) R_{0} を AFD II_{1} factor とする. すると次をみたすような G の作用 m がある.

(a) m は outer な作用.

(b) 上の様な φ に対し, σ_{x} ∈ Aut (R_{0}) と v_{γ} ∈ U(R_{0}) で

(1) σ_{r(γ)} ∘ m_{γ} ∘ σ_{s(γ)}^{−1} = Ad v_{γ} m_{γ},
(2) v_{γ_{1}γ_{2}} = \overline{φ(γ_{1}, γ_{2})} v_{γ_{1}}m_{γ_{1}}(v_{γ_{2}})

そこで, (P ⊂ Q) ≅ (P^{st} ⊂ Q^{st}) ⊗ R_{0} ⊗ R_{0,1} の同型を使って, G の P ⊂ Q への新しい作用 m̃ を

m̃_{γ} := α̃_{γ}^{st} ⊗ m_{γ} ⊗ θ_{− log(mod (α̃_{γ}))}^{0}

と定める. ここで R_{0,1} は AFD II_{∞} factor, θ_{t}^{0} は R_{0,1} 上の trace scaling automorphism である. そして α̃ と m̃ を比べると, 今までの議論が β̃ の代わりに m̃ を使ってもそのまま成立するので, α̃_{γ} = Ad b_{γ} m̃_{γ} となるとしてもよい. ここでモデル作用の性質を使って, 上の定理のような σ_{x} と v_{γ} をとり,

σ̃_{x} := id_{Q^{st}} ⊗ σ_{x} ⊗ id_{R_{0,1}},
a_{γ} := σ̃_{r(γ)}(b_{γ})(1 ⊗ v_{γ} ⊗ 1),

とすると, σ̃_{r(γ)} ∘ α̃_{γ} ∘ σ̃_{s(γ)}^{−1} = Ad a_{γ} m̃_{γ} かつ a_{γ} は m̃ cocycle となる事がわかり, cocycle 共役となる事がわかる.

参考文献

[1] Choda, M., and Kosaki, H., Strongly outer actions for an inclusion of factors, J. Funct. Anal. 122, 315–332, (1994).

[2] Loi, P., On Automorphisms of subfactors, J. Funct. Anal. 141, 275–293.

[3] Masuda, T., Classification of actions of discrete amenable groups on strongly amenable subfactors of type III_{λ}, preprint, (1997).

[4] Masuda, T., Classification of strongly free actions of discrete amenable groups on strongly amenable subfactors of type III_{0}, preprint, (1997).

[5] Popa, S., Classification of actions of discrete amenable groups on amenable subfactors of type II

[6] Sutherland, C., A Borel parameterization of Polish groups, Publ. RIMS. 21, 1067– 1086, (1985).

[7] Sutherland, C., and Takesaki, M., Actions of discrete amenable groups and groupoids on von Neumann algebras, Publ. RIMS. 21, 1087–1120, (1985).

[8] Sutherland, C., and Takesaki, M., Actions of discrete amenable groups on injective factors of type III_{λ}, λ ≠ 1. Pac. J. Math. 137, 405–444, (1989).

[9] Winsløw, C., Strongly free actions on subfactors, Internat. J. Math. 4, 675–688, (1993).

[10] Winsløw, C., The flow of weights in subfactor theory, Publ. RIMS. 30, 519–532, (1995).

[11] Winsløw, C., Classification of strongly amenable subfactors of type III_{0}, J. Funct. Anal. 148, 296–313, (1997).