強従順なIII_{1} 型部分因子環の自己同型群について

増田俊彦 (高知大)

𝒩 ⊂ ℳ を強従順な III_{1} 型部分因子環で II 型グラフと III 型グラフが一致する物とする. この時 [7] によって 𝒩 ⊂ ℳ は 𝒩^{st} ⊗ ℛ_{∞} ⊂ ℳ^{st} ⊗ ℛ_{∞}. に同型である. (以下この様な部分因子環を, 分裂的と呼ぶ.) 本講演ではこの様な部分因子環の自己同型群について考察する.

まず記号を準備する. Cnt_{sf}(ℳ, 𝒩) と Cnt_{so}(ℳ, 𝒩) をそれぞれ強自由でない自己同型と強外部的でない自己同型の集合とする. θ ∈ Aut(ℳ, 𝒩) に対して p_{sf}(θ) と p_{so}(θ) をそれぞれ強自由的周期と強外部的周期とする. Φ(θ) を Loi 不変量, γ_{h}(θ) を θ の高次障害類, ν(θ) を ν 不変量とする. (用語の定義については [5], [1], [8], [3] を参照.)

次が主定理である.

定理 1 𝒩 ⊂ ℳ は上記の如くとする. この場合 Ker Φ = \overline{Int}(ℳ, 𝒩) と Cnt_{sf}(ℳ, 𝒩) = Cnt(ℳ, 𝒩) が成立する.

証明のアイディアは [6] と同様で, 自己同型から生じる可換な四つ組を使う.

ℳ(θ) ⊂ ℳ ⊗ M_{3}(C) = M_{3}(ℳ) を ℳ(θ) := {diag(x, θ(x), θ(x))}. と定義し次のような可換な四つ組を考える.

C(θ) := \begin{aligned}M_{3}(𝒩) & ⊂ & M_{3}(ℳ) \\ ∪ & & ∪ \\ 𝒩(θ) & ⊂ & ℳ(θ) \end{aligned} .

この可換な四つ組に対する標準不変量は [6] と同様の計算で, 𝒩 ⊂ ℳ の標準不変量, Φ(θ), p_{so}(θ), γ_{h}(θ) 及び ν 不変量によってきまる.

補題 2 III_{1} 型因子環からなる非退化な可換な四つ組

\begin{aligned}ℳ_{10} & ⊂ & ℳ_{11} \\ ∪ & & ∪ \\ ℳ_{00} & ⊂ & ℳ_{01} \end{aligned}

について ℳ_{00} ⊂ ℳ_{11} が強従順かつ II 型グラフと III 型グラフが同じであるとする. するとこの可換な四つ組は次に同型.

( \begin{matrix}ℳ_{10}^{st} & ⊂ & ℳ_{11}^{st} \\ ∪ & & ∪ \\ ℳ_{00}^{st} & ⊂ & ℳ_{01}^{st} \end{matrix} ) ⊗ ℛ_{∞}.

ここで括弧内は与えられた可換な四つ組の II_{1} 型部分である. つまりこの可換な四つ組は分裂的である.

証明は ℳ_{00} ⊂ ℳ_{11} が分裂的部分因子環である事をつかって [2] と同様の議論で示す. 定理 1 の証明. まず p_{so}(θ) = p_{sf}(θ) を仮定する. すると 𝒩(θ) ⊂ M_{3}(ℳ) は補題の仮定を満たす. 実際 θ̃を ℳ̃ への標準拡張とすると, p_{so}(θ̃) = p_{so}(θ) が判り，他の不変量も同じである事がわかる. 𝒬 ⊂ 𝒫 を 𝒩 ⊂ ℳ の II_{1} 型の部分とし, θ_{0} を 𝒬 ⊂ 𝒫 の自己同型で θ と同じ不変量をもつ物とする. 補題 2 を適用すると C(θ) と C(θ_{0} ⊗ id_{ℛ_{∞}} ) が同型である事がわかり， θ と θ_{0} ⊗ id_{ℛ_{∞}} が外部共役である事がわかる.

まず θ ∈ Ker Φ を仮定する. [5] により, θ と θ ⊗ id_{ℛ_{0}} が外部共役である. σ_{0} を ℛ_{0} 上の非周期的自己同型とする. すると θ ⊗ σ_{0} は p_{so}(θ ⊗ σ_{0}) = p_{sf}(θ ⊗ σ_{0}) = 0 をみたすので, θ ⊗ σ_{0} は θ_{0} ⊗ σ_{0} ⊗ id_{ℛ_{∞}} に外部共役である．かつ θ_{0} ⊗ σ_{0} ∈ Ker Φ なので [5] によって θ_{0} ⊗ σ_{0} ∈ \overline{Int}(𝒫, 𝒬) である. よって θ ⊗ σ_{0} も漸近内部的である. σ_{0} は漸近内部的なので, θ ⊗ id_{ℛ_{0}} も漸近内部的であり，結局 θ ∈ \overline{Int}(ℳ, 𝒩) が判る.

次に Cnt_{sf}(ℳ, 𝒩) = Cnt(ℳ, 𝒩) を示す. θ ∈ Aut(ℳ, 𝒩)\Cnt_{sf}(ℳ, 𝒩) をとってくる. p_{sf}(θ) ≠ 1 である. p_{so}(θ) = p_{sf}(θ) なら, θ は θ_{0}⊗id_{ℛ_{∞}} と外部共役であるので, Cnt_{so}(𝒫, 𝒬) = Cnt(𝒫, 𝒬) である事より θ は局所的でない事が判る. 次に p_{so}(θ) ≠ p_{sf}(θ) =: p とする. 支配的荷重 φ に対して φ ∘ θ = φ と仮定しても構わない. [4] によって θ^{p} = α ∘ σ_{t}^{φ} がある α ∈ Cnt_{so}(ℳ, 𝒩)について成立する. するとθ̄:= θ∘σ_{−t/p}^{φ} と置いた時θ̄はp_{so}(θ̄) = p_{sf}(θ̄) = p を満たす. 上の結果より θ̄は局所的ではないが, σ_{−t/p}^{φ} は局所的なので θ = θ̄ ∘ σ_{t/p}^{φ} は局所的とはならない. □

参考文献

[1] Choda, M. and Kosaki, H., Strongly outer actions for an inclusion of factors, J. Funct. Anal. 122 (1994), 315–332.

[2] Kawahigashi, Y., Classification of paragroup actions on subfactors, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 31 (1995), 418–517.

[3] Kawahigashi, Y., Classification of approximately inner automorphisms of subfactors, Math. Ann. 138 (1997), 425–438.

[4] Kosaki, H., Sector theory and automorphisms for factor-subfactor pairs, J. Math. Soc. Japan 48 (1996), 427–454.

[5] Loi, P., On automorphisms of subfactors, J. Funct. Anal 141 (1996), 275–293.

[6] Loi, P., A note on commuting squares arising from automorphisms on subfactors, Internat. Math. 10 (1999), 207–214.

[7] Popa, S., Classification of subfactors and their endomorphisms, Regional Conference Series in Mathematics (1995), no. 86.

[8] Winløw, C., Strongly free actions on subfactors, Internat. J. Math 4 (1993), 675–688.