部分因子環でのConnes-Radon-Nikodym cocycleの類似に関する考察

増田俊彦 (高知大理)

𝒩 ⊂ ℳ を指数有限の II_{1} 型部分因子環とする. 𝒩 ⊂ ℳ ⊂ ℳ_{1} ⊂ ⋯ を Jones tower とする. Aut(𝒢_{ℳ,𝒩} ) を 𝒩 ⊂ ℳ の standard invariant 上の自己同型群, Φ(α) を α ∈ Aut(ℳ, 𝒩) に対する Loi 不変量, Cnt_{so}(ℳ, 𝒩) を non-strongly outer automorphism の集合, χ_{a}(ℳ, 𝒩) を代数的 χ 群とする. これらの定義については [4], [1], [3] を参照の事. 以下 χ_{a}(ℳ, 𝒩) から Aut(ℳ, 𝒩) への準同型となるような lifting σ が存在する事を仮定する. 注意として, Aut(𝒢_{ℳ,𝒩} ) の元は χ_{a}(ℳ, 𝒩) 上の自己同型を引き起こす. σ ∈ Cnt_{so}(ℳ, 𝒩) に対して, I_{n}(σ) := {a ∈ ℳ_{n} | 全てのx ∈ ℳ に対してσ(x)a = ax} とおく.

[5], [6] で II_{1} 型部分因子環への approximately inner な群作用の分類を行ったが, この分類の出発点は次の Connes-Radon-Nikodym 型コサイクル定理であった.

定理 1 ([5]) α ∈ Ker Φ, k ∈ χ_{a}(ℳ, 𝒩) に対して, 次の条件を満たす u(α, σ_{k}) ∈ U(𝒩) が存在する.

(1) α ∘ σ_{k} ∘ α^{−1} = Ad u(α, σ_{k})σ_{k},

(2) u(α, σ_{k}σ_{l}) = u(α, σ_{k})σ_{k}(u(α, σ_{l})),

(3) u(α_{1}α_{2}, σ_{k}) = α_{1}(u(α_{2}, σ_{k}))u(α_{1}, σ_{k}),

(4) a ∈ I_{n}(σ_{k}) に対して, α(a) = u(α, σ_{k})a.

(補足.) u(α, σ_{k}) は上の条件 (4) によって一意的に定まる.

定理 1 での u(α, σ_{k}) は III 型因子環における (Dφ ∘ α^{−1} : Dφ)_{t} の類似と考えられる. ところで一般に III 型因子環 ℳ においては, extended modular automorphism σ_{c}^{φ} と

α ∈ Aut(ℳ) に対して, (Dφ ∘ α^{−1} : Dφ)_{c} が定義される. ([2] 参照.) 他方定理 1 では α ∈ Ker Φ という制限がついており, この制限をはずせないか気になる所である.

ここで次の仮定をおく. Aut(𝒢_{ℳ,𝒩} ) から Aut(ℳ, 𝒩) への準同型 Γ で次の 2 条件をみたす物が存在すると仮定する.

(i) α ∈ Aut(𝒢_{ℳ,𝒩} ) に対して, Φ(Γ(α)) = α, (ii) Γ(α) ∘ σ_{k} ∘ Γ(α)^{−1} = σ_{α(k)}.

条件 (i) に関しては強従順な II_{1} 型部分因子環に関しては成立する. ([4] 参照.)

α ∈ Aut(ℳ, 𝒩) に対して, ᾱ := α ∘ Γ(Φ(α^{−1})) と置くと, ᾱ ∈ Ker Φ である.

定理 2 α ∈ Aut(ℳ, 𝒩) と k ∈ χ_{a}(ℳ, 𝒩) に関し, u(α, k) := u(ᾱ, σ_{Φ(α)(k)}) とおくと, 次の条件をみたす.

(1) α ∘ σ_{k} ∘ α^{−1} = Ad u(α, k)σ_{Φ(α)(k)},

(2) u(α, kl) = u(α, k)σ_{Φ(α)(k)}(u(α, l)),

(3) u(αβ, k) = α(u(β, k))u(α, Φ(β)(k)),

(4) a ∈ I_{n}(σ_{k}) に対し, α(a) = u(α, k)Γ(Φ(α))(a).

これは定理 1 のコサイクルの性質を使うと容易に証明できる.

一応上の状況ではコサイクル定理は一般化できたのだが, 群作用から来ないような部分因子環は, 大概 Aut(𝒢_{ℳ,𝒩} ) か Cnt_{so}(ℳ, 𝒩) の一方が自明, というケースで実は例がとぼしい.

Aut(𝒢_{ℳ,𝒩} ) も Cnt_{so}(ℳ, 𝒩) も自明でないような例として principal graph が E_{6}^{(1)} の AFD 部分因子環を調べる. 指数の値は 4 である. グラフの対称性を用いると Aut(𝒢_{ℳ,𝒩} ) = Z/2Z, Cnt_{so}(ℳ, 𝒩) = χ_{a}(ℳ, 𝒩) = Z/3Z が分かる. そして上の Γ の存在もチェックできる. よって定理 2 でのコサイクルが存在する事になる. またこの場合は [5] の意味での κ 不変量が自明になる事もわかっている. よって [5] と同じ方針で群作用の分類が可能となる.

参考文献

[1] Choda, M. and Kosaki, H., Strongly outer actions for an inclusion of factors, J. Funct. Anal. 122 (1994), 315–332.

[2] Connes, A. and Takesaki, M., The flow of weights on factors of type III, Tohoku J. Math. 29 (1977), 473–555.

[3] Goto, S., Commutativity of automorphisms of subfactors modulo inner automorphisms, Proc. Amer. Math. Soc. 124 (1996), 3391–3398.

[4] Loi, P., On automorphisms of subfactors, J. Funct. Anal 141 (1996), 275–293.

[5] Masuda, T., Classification of approximately inner actions of discrete amenable groups on strongly amenable subfactor, preprint, (1999).

[6] Masuda, T., Notes on group actions on subfactors, to appear in J. Math. Soc. Japan.