III_{0} subfactorの non-strongly free automorphismについて

増田俊彦 (高知大理)

N ⊂ M を指数有限の III 型 subfactor とする. (この講演では conditional expectation は minimal なものだけを考える.) φ を conditional expectation で不変な M の faithful semifinite normal weight とする. Ñ ⊂ M̃ := N ⋊_{σ^{φ}} R ⊂ M ⋊_{σ^{φ}} R をその連続接合積分解とし, τ を tracial weight, θ_{t} を trace scaling 1 parameter group とする. そして Z(Ñ) = Z(M̃) である事を仮定する. 特に N と M のタイプは同じになる. α ∈ Aut (M, N) について α̃ で α の Ñ ⊂ M̃ への canonical extension を表す事とする.

[3] で C. Winsløw は下の様に α ∈ Aut (M, N) について strong freeness の概念を導入した.

定義 1 ([3, Definition 3.2]) α ∈ Aut (M, N) が strongly free であるとは, 任意の a ∈ ∪_{k}M̃_{k} が α̃(x)a = ax を全ての x ∈ M̃ について満たす時 a = 0 となる事である.

上の定義から α が non-strongly free であるとは, ある番号 k と 0 ≠ a ∈ M̃_{k} が存在して α̃(x)a = ax が全ての x ∈ M̃ について成り立つ, という事である.

[2] で幸崎は, non-strongly free automorphism の構造を研究し次の定理を得た.

定理 2 ([2, Theorem 19]) N ⊂ M を III_{λ} 型 subfactor(λ ≠ 0) とする. α を non-strongly free automorphism とすると, α は β ∘ σ_{t}^{φ} の形になる. 但し β は non-strongly outer automorphism である.

Non-strongly outer automorphism については長田-幸崎により, γ を N ⊂ M の Longo の canonical endomorphism とした時, ⊔_{n}γ^{n} の既約成分として現れる automorphism として特徴付けられている. よって N ⊂ M の fusion rule, 若しくは (dual) principal graph が判っていれば, 上の定理で III_{λ} 型 subfactor, 0 < λ ≤ 1 については non-strongly free automorphism の様子は全て判る事になる.

ここで III_{0} 型 subfactor の場合にどうなるか, 疑問になるのは自然である. 上の結果から類推して, modular automorphism になっているところを extended modular automorphism に置き換えた結果になるであろう，と予想される.

今回の講演では III_{0} 型 subfactor の場合を研究した結果を述べるが, その前に [1] で泉によって導入された endomorphism の canonical extension と modular endomorphism の概念を説明する.

ρ を M の endomorphism で dρ < ∞ となる物とする. この時 Haagerup-Størmer による automorphism の canonical extension と同様に ρ の canonical extension を次の様に定める事ができる. ([1, Proposition 2.1].)

(1) ρ̃(x) = ρ(x), x ∈ M

(2) ρ̃(λ_{t}) = dρ^{it}[Dφ ∘ ϕ_{ρ} : Dφ]λ_{t} ここで λ_{t} は implementing unitary, ϕ_{ρ} は ρ の standard left inverse で E_{ρ} を M から ρ(M) への minimal expectation とする時 ϕ_{ρ} = ρ^{−1}E_{ρ} で定められる.

定義 3 ([1, Definition 3.2]) ρ を dρ < +∞ である M の endomorphism とする. ρ が modular endomorphism であるとは ρ̃が inner endomorphism となる事である. 即ち isometry の組 {v_{i}}_{i=1}^{n} ⊂ M̃ で v_{i}^{∗}v_{j} = δ_{ij}, ∑_{i} v_{i}v_{i}^{∗} = 1 となる物が存在して, ρ̃(x) = ∑_{i} v_{i}xv_{i}^{∗} となる事である.

今回の講演の目的は次の定理を解説する事である.

定理 4 N ⊂ M をIII_{0} 型subfactorとする. αがN ⊂ M のnon-strongly free automorphism なら, ある N ⊂ M の既約な modular endomorphism ρ が存在して, α ∘ ρ が ⊔_{n}γ^{n} の既約分解に現れる.

定理 4 では III_{0} 型の時のみ書いてあるが, λ ≠ 0 の場合は既約な modular endomorphism は全て automorphism なので, λ ≠ 0 の場合は上の定理は幸崎の定理となる.

また III_{0} 型の場合は定理に現れる ρ が本当に automorphism でない endomorphism となる例が存在する. よって今の所 λ ≠ 0 の場合の様に non-strongly free automorphism を綺麗に書き表す事はできない. が, subfactor の構造が特殊な場合には以下の系が成立する.

系 5 N ⊂ M を III_{0} 型 subfactor とする. N ⊂ M が (1) [M : N] < 4, 若しくは, (2) II 型 graph と III 型グラフが同じなら non-strongly free automorphism は non-strongly outer automorphism と extended modular automorphism の合成で書ける.

参考文献

[1] Izumi, M., Canonical extension of endomorphisms on factors, Subfactors (Araki, H. et al., eds.), World Scientific, 1994, pp. 129–138.

[2] Kosaki, H., Sector theory and automorphisms for factor-subfactor pairs, J. Math. Soc. Japan 48 (1996), 427–454.

[3] Winløw, C., Strongly free actions on subfactors, Internat. J. Math 4 (1993), 675–688.