なんでこんな風な凹凸になるの?

まず、$e^?$ は $?$ について単調増加だから、 増減を調べるには $x\log x$ で調べればいいよね。 それでとりあえず $x\log x$ を微分したのよね。

$$(x\log x)'=x'\log x+x(\log x)'=\log x +1(=\log (xe))$$

だから、$x\log x$ や $x^x$ は

• $0<x<1/e$ では単調減少
• $x>1/e$ では単調増加

だということがわかったんだよ。$x^x$ の $x>0$ における最小値が

$$(1/e)^{1/e} (=e^{-1/e})$$

ということもついでにわかったね。 満足満足。

え? $\log$ ってなに? 微分が分からない? 悪のオジサンにそこまで求めてはいけないよ(笑) 高校生向けの教科書や参考書を読んでね。 (本当はさっきの節でこそっとやらずにきちんと説明すればいいのだけれどね。)