$x$ が $0$ に近付いた極限では?

$x$ が $0$ に近付いた時、$x^x$ はどうなるのか? これも、$x\log x$ がどうなるかわかればいいよね。 こういうことを説明するのは得意中の得意だ。(微分なんかの説明は省いたのにね。) 黒板にこんなことを書いたよ。

この計算をよくみてみよう。$\log 10$ のところは同じだからはぶいて、 分数の部分に着目する。分子は$1$ づつしか増えないのに、 分母は1ケタづつ桁が上がっていくよね。 当然 $x\log x$ はどんどん $0$ に近付いていく。 だから

$$\lim_{x\to 0} x\log x =0$$

ということが納得できるだろう。 こういうのを手っ取り早く計算する方法はいろいろあるけど、 こういう感覚もとても大事なんだ。(大得意)