$x^y$ の極限いろいろ

みんな大体気づいていると思うけど、式2で「どんな値でも」というのに ちょっと嘘があるんだよね。実は、$0^0$ は $0/0$ と似た意味で「不定」 と見倣すのが妥当だ。つまり、どっから見ても筋が通るように 一つの値に決めるのが不可能だ、ということなんだ。 $0^0$ は、 $x^y$ の $x\to 0, y\to 0$ の時の極限と決められればいいんだけれど、 $(x,y)$ を $(0,0)$ に近付ける方法はいろいろある。

• $x$ を $0$ に近付けてから、その後で $y$ を $0$ に近付ける。
• $y$ を $0$ に近付けてから、その後で $x$ を $0$ に近付ける。
• $x=y$ という関係を保ちながら、$x,y$ を同時に $0$ に近付ける。
• $x=2y$ という関係を保ちながら、$x,y$ を同時に $0$ に近付ける。
• $x=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{y}}$ という関係を保ちながら、 $x,y$ を同時に $0$ に近付ける。

(いまは、とりあえず $x,y$ は正の値をとりつつ $0$ に近付くことにしておきましょう)

等々。なんだか $0$ の地点に $x,y$ 二人の人が待ち合わせにいくみたいだ。 片方が遅れて来たり、一緒にいったり、片方がダッシュしてもう片方の 倍の速度で $0$ に近付いたり(きっとデートに遅刻しそうなんだな...)

最後の例はちょっと難しいけれど、 $x$ が $y$ よりもむちゃくちゃに速く $0$ に近付く例だ。

前小節で既に言ったように、上のそれぞれの近付け方によって、 $x^y$ がどの値に近付いていくかが変わってしまうんだ。 最後の２例については説明していなかったね。

$$\lim_{y\to 0} (2y)^y=1$$

(なぜだか分かるかな?)だから多少ダッシュしたってこの場合の極限の値は変わらない。 でも、

$$\lim_{y\to 0}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{y}} \right)^y=\frac{1}{2}$$

だから、$0^0$ が $1/2$ という答えも考えられる。 (と私は自分を正当化しておるんだな、これが。)

これを読んでいる皆さんもぜひ $x^y$ をいろんな値に近付けてみて欲しい。 簡単で気の効いているやり方が分かったら 私(docky@math.kochi-u.ac.jp)宛に送りつけると私はとっても喜ぶだろう。

とにかく、$x^y$ は $(x,y)\to (0,0)$ の近付き方によって $0$ から $1$ までの どんな実数値にもなり得る。 (このことは $f(x,y)=x^y$ のグラフを見てみるともっと良くわかるね。

上図で、$x^y$ のグラフは、x,y が 0に近付くと $z$ 軸にヘバリついてくるのが 見てとれるかな？)

だから $0^0$ は不定だ、と呼ばれるんだね。