$x=-1/2$ なら?

$x$ が負の整数の時には何とかなったけれど、ぼくらは負の数が それだけじゃないことを知っている。とりあえず $x=-1/2$ なんていうのも あるけど、

$$(-1/2)^{-1/2}$$

なんて、計算できるの?

みんなは、ここでも私よりも賢かったね。どうにかこうにか計算法を編み出して 来たんだ。いろいろ紆余曲折があったんだけれど、

$$(-1/2)^{-1/2}=((-1/2)^{-1})^{1/2}=(-2)^{1/2}=\sqrt{2}i$$

という風に計算を進められることが分かった。虚数単位 $i$ が出て来るのは 不本意だけれども、何か計算できたじゃん。でもこれってグラフに書けるの?

もっと素晴らしいアイディアもあったんだ。 $(-2)^{1/2}$ までいたる 道筋は同じなんだけど、$1/2=2/4$ ということを使って、

$$(-1/2)^{-1/2}=(-2)^{1/2}=(-2)^{2/4}=((-2)^2)^{1/4}=4^{1/4}=\sqrt{2} \tag{★}$$

おお、これなら $i$ がつかない。これには私も他の先生方も 感心してしまったね。

でも今から思い起こしてみるとここでは注意が必要だったんだ。(後述) 上野先生がここで口をはさんだのは、きっとそれが言いたかったんだね。