対数関数の多価性

$$\log(w)=\operatorname{Log}(\vert w\vert)+i \arg(w)$$

という式が得られ、$w$ から $\log(w)$ を計算する方法が わかって、めでたしめでたし、というところだが、 実は問題がある。それは $\arg(w)$ の部分で、 これには $2\pi$ の整数倍の分だけ不定性がある。 すなわち、$\log(w)$ には、$2\pi i$ の整数倍の分だけ不定性があるのだ。

この不定性は $e^z$ の周期性によるもので、たとえば、

$$e^z=w\quad \text{ ならば、任意の整数 $n$ について }\quad e^{z+2\pi i n}=w$$

が成り立つから、$\log$ を $e^z$ の逆関数として定義する限りは やむを得ないことであるともいえる。

しかし、現代数学においては、単に「関数」と言えば一価なもののみをさすから、 ここの点は少しなんとかしなければならない。 さしあたって、$\arg(w)$ は $w$ の偏角を「うまく」選んでしのぐことにする。