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: with Fubini-Study 計量 を : 複素射影空間 : 非可換環の「制限」

シンプレクティック 商

前節の「制限」の操作を シンプレクティック 多様体のほうでながめたのが、 シンプレクティック 商 である。

Lie 群 $ G$ が シンプレクティック多様体 $ (M,\omega)$ に作用し、$ G$ の 作用は $ \omega$ を不変にしているとする。 作用は次の様なリー環準同型を誘導する。

$\displaystyle {\mathfrak{g}}\to \mathcal X(M)
$

この作用の「モーメント写像」とは、この準同型の次のようなリフトのことである。

$\displaystyle \mu:{\mathfrak{g}}\to C^\infty(M)
$

($ \mu$ には「積分定数」の分だけ任意性があり、それをどう決めるかは場合による。 また、$ G$ が不連結の場合には、$ \mu$ に適当な $ G$-共変性を要求する 必要がある。)

$ M$$ \mu$ による「制限」がシンプレクティック 商 と 呼ばれるものである。

$\displaystyle N(J)\supset A\cdot \mu({\mathfrak{g}})+\epsilon A+\{a_1\in C^{\infty}(M)\vert{\mathfrak{g}}.a_1=0\}
$

$\displaystyle M//G=\mu^{-1}(0)/G
$



平成16年8月24日