複素射影空間のケーラー構造

複素射影空間がシンプレクティック空間であり、いわゆるケーラー多様体の例 になっていることはよく知られている。 ここでは簡単にその復習をしておこう。

$\mathbb{P}^n({\Bbb C})$ の上のシンプレクティック計量(ケーラー計量)を導入する には、ちょっと思い付くだけでも、

1. シュワルツの不等式から形式的に導く方法
2. ${\Bbb C}^n\setminus \{0\}$ のシンプレクティック商空間とみる方法
3. 幾何学的直観を元にした方法

が考えられる。本稿で考察するのはおもに 2.の方法であるが、他の方法についても 面白いのであとで少し考えてみることにする。