非可換スキームの定義

標語的にいえば、スキームというのは「扱いやすい」アーベル圏の事である といえる。どの程度扱いやすいのが良いかは場合にもよろうが、 ここでは前節に続いて Rosenberg [7] の見方を採用し、 そのスキームの定義を述べる。

まずは「局所化」の定義である。

Definition 3.1   [7] A morphism $f$ (in the sense of Rosenberg) between categories is said to be flat if the inverse image functor $f^*$ is exact. $f$ is called a flat localization if $f$ is flat and has a fully faithful direct image functor.

次に、「アファインスキーム」の定義をする。

Definition 3.2   [7] A continuous morphism $f$ (in the sense of Rosenberg) between categories is said to be almost affine if the direct image functor $f_*$ is exact and faithful. $f$ is said to be affine if $f_*$ is faithful and has a right adjoint.

この定義がどうして「アファインスキーム」に当たるものを定義していることに なるのかについては少々注釈が必要だろう。 Monad の定義について思い出しておくことにする。

Definition 3.3   A monad $F=(F,\mu^{(F)},\eta^{(F)})$ on a category ${\mathcal{C}}$ is a functor $F:{\mathcal{C}}\to {\mathcal{C}}$ with a natural transformations $\mu^{(F)}:F^2\to F$ (``multiplication'') and $\eta^{(F)}:{\operatorname{id}}\to F$ (``unity'') which satisfies certain axioms (``associativity'' and ````unity'' being unity'')[4]. We denote by $(F{\text{\rm {-}}}{\operatorname{mod}})$ the category of $F$-modules ($F$-algebra in the language of Mac Lane[4]). By definition, an $F$-module is a pair $(M,\alpha)$ of an object $M$ of the category ${\mathcal{C}}$ and an arrow $\alpha:FM\to M$ (``action'') which satisfies ``axioms of action''.

詳しくは [4] を参照のこと。 Monad の言葉を使うと上記アファインスキームの定義は次のように言い替えられる

Lemma 3.1   [7] Let ${\mathcal{C}}_2$ be an abelian category. For any right-exact monad $F$ on ${\mathcal{C}}_2$, we have a morphism $f:(F$-${\operatorname{mod}})\to {\mathcal{C}}_2$. A continuous morphism $f:{\mathcal{C}}_1 \to {\mathcal{C}}_2$ is almost affine if and only if ${\mathcal{C}}_1$ is equivalent over ${\mathcal{C}}_2$ to $(F$-${\operatorname{mod}})$ for some right-exact monad $F$ on ${\mathcal{C}}_2$.

Monad の代表例として次のものがある。

Example   Let $A$ be an algebra and $B$ an $A$-algebra. Then a functor $F:{\mathcal{C}}=(A$-${\operatorname{mod}})\to {\mathcal{C}}$ given by tensor products $F(M)=B\otimes_A M$ is a monad. The category $(F$-${\operatorname{mod}})$ is isomorphic to the category $(B{\text{\rm {-}}}{\operatorname{mod}})$ of $B$-modules. The morphism $f:(F{\text{\rm {-}}}{\operatorname{mod}})\to {\mathcal{C}}$ in this case is identified with the morphism associated to the structure morphism $A\to B$.

以上のことから、 環準同型 $A\to B$ があれば $(B{\text{\rm {-}}}{\operatorname{mod}})$ は $(A{\text{\rm {-}}}{\operatorname{mod}})$ 上の アファインスキームとみなすことができることが分かる。

一般の monad を扱う時には、$F(M)$ を心の中で $B\otimes_A M$ と読みかえて ダイアグラムを書くと、上の例と同様に処理できることが多い。例えば、 次の補題のような調子である。

Lemma 3.2   Let ${\mathcal{C}}$ be an abelian category. Let $F,G$ be monads on ${\mathcal{C}}$. Let $\theta:F\to G$ be a morphism of monads [4]. Then there exists a morphism (in the sense of Rosenberg) such that its direct- and inverse image functors are given as follows.

$$f_*(y,\beta)=(y,\beta\circ \theta_y)$$

$$f^*(x,\alpha)=(Gx/\langle (\eta^{(G)}_{x}\circ \alpha -\theta_x)Fx \rangle _G,\mu^{(G) })$$

where the symbol $\langle m \rangle _G$ denotes a ``$G$-submodule of $(Gx,\mu^{(G)})$ generated by a sub object $m$ of $Gx$''. That is,

$$\langle m \rangle _G=\operatorname{Image}(\mu^{(G)}\circ G\lambda :Gm \to Gx) \quad ($$$&lambda#lambda;:m &rarr#to;Gx$ is the inclusion)

お待ちかねのスキームの定義は次のようになる。

Definition 3.4   [7] A set of flat localizations $\{f_i:{\mathcal{C}}_i\to {\mathcal{C}}\}$ is said to be a Zariski cover of ${\mathcal{C}}$ if any arrow $s$ of ${\mathcal{C}}$ such that $f_i^*(s)$ is invertible for all $i$ is invertible. A continuous morphism $f: {\mathcal A}\to {\mathcal{C}}$ is said to be a quasi-scheme over ${\mathcal{C}}$ if there exists a Zariski cover $\{u_i:{\mathcal A}_i \to {\mathcal A}\}$ such that $f\circ u_i$ is almost affine for each $i$.

上のスキームの定義は、「局所的にアファイン」と言う従来の スキームの定義をカテゴリーの言葉を使って非可換の場合にまで 拡張した物で、分かりやすいが、この定義がどのくらい良いかは、あとあとの 判断を待たねばなるまい。

非可換空間の例としてアファインスキームの次に現れるのは、 やはり射影「スキーム」であろう。

Definition 3.5 (See [2] and references cited there.)   Let $A$ be an $\Bbb N$-graded algebra We define the projective spectrum of $A$ as follows.

$$\operatorname{Proj}(A)=($$graded A-module$$)/($$Torsion$$),$$

where ``(Torsion)'' is a collection of modules $M$ which satisfy the following property.

$$M=\sup\{M_{(n)}\}, \quad M_{(n)}=($$elements of $M$ annihilatate by $R_>n$$$)$$

$A$ の乗法が適当な交換関係(Ore property) を持てば、 $\operatorname{Proj}A$ は Rosenberg の意味のスキームになる。一般にはおそらく $\operatorname{Proj}A$ は Rosenberg の意味のスキームにならないこともあると思われる。 (が、「スキームにならない」証明は難しそうである。) 要は非可換空間が Rosenberg の意味のスキームになっていれば可換理論と 平行な理論が進む幸運に感謝しながら先を進め、 そうなっていなければ他の意味で「扱いやすい」かどうか検討してみれば良いのである。