リー環の普遍包絡環

$\C$ 上の半単純 Lie 環 $\gee$ を考えよう。 普遍包絡環 $\mathfrak{U} (\gee )$ が定義される。この環に対して 我々の議論を適用したい。

まず $\gee$ はカルタン行列による表示をもつ。

THEOREM 4.6 (Serre)   $\C$ 上の半単純 Lie 環 $\gee$ は、次のような関係式を持つ生成元 $\{ x_i,y_i,h_i \vert 1\leq i \leq \ell\}$ で生成される。 (記号等 Lie 環論におなじみの記号であるから ここでは説明を省く。 詳しくは[2]の18.1を参照のこと。 )

1. $[h_i h_j]=0$
2. $[x_i y_i]=h_i,\quad [x_i y_j]=0$    if $i\neq j.$
3. $[h_k x_j]=\langle \alpha_j,\alpha_i\rangle x_j, \quad [h_i y_j]=-\langle \alpha_j , \alpha_i\rangle y_j,$
4. $(\ad x_i)^{-\langle \alpha_j,\alpha_i \rangle +1}(x_j)=0$
5. $(\ad y_i)^{-\langle \alpha_j,\alpha_i \rangle +1}(x_j)=0$

そこで、$\gee$ の生成元としてこの $\{x_i,y_i,h_i\}$ を採用し、

$$\gee _\Q =\Q \langle \{x_i,y_i,h_i\}\rangle$$

とおこう。 話が $\Q$ 上にまで落ちたことになって、 十分大きな素数 $p$ について $\F _p$ 上におとすという われわれの手法が使えるようになる。 (以下では幾つかのベクトル空間 $V$ についてその係数環を $\Q$ や $\F _p$ に変えたものを考えて、suffix でもって $V_{\Q },V_{\F _p}$ 等と これをあらわすことにする。これらはもちろん生成元に依存している。)

以下の所論には $\gee$ のもう少し詳しい情報が必要である。

$$\mathfrak{h}=\C \langle \{h_i\} \rangle,\quad \mathfrak{n}_+=\C \langle \{x_i\} \rangle ,\quad \mathfrak{n}_-=\C \langle \{y_i\} \rangle$$

とおくと、

$$\gee =\mathfrak{h}\oplus \mathfrak{n}_+ \oplus \mathfrak{n}_-$$

と書ける(三角分解)。 $\mathfrak{h}$ の基底としては $\{h_i\}$ が採れる。 $\mathfrak{n}_{+}$ (順に $\mathfrak{n}_{-}$) の基底としては $\{x_i\}$ (順に $\{y_i\}$ ) の単項式が選べるから、そうする。それによって、

$$\gee _\Q =\mathfrak{h}_{\Q } \oplus \mathfrak{n}_{+\Q } \oplus \mathfrak{n}_{- \Q }$$

とそれらの $\Q$-基底が得られる。以下の便宜のため、 $\mathfrak{n}_+\oplus \mathfrak{n}_-$ の上述の意味の基底を $\{n_1,n_2\dots, n_s\}$ と書くことにする。各 $n_i$ は $\ad$-nilpotent である。

これらのデータを標数 $p>0$ の世界に落とそう。$\Q$ からはじめたわけだから落とした体としては $\F _p$ で十分であるわけだが、フロベニウス写像の作用を詳細に見るために ここでは標数 $p$ の体 $k$ を考えて、$\gee _k$ について考察する。

標数 $p$ の世界では、restricted Lie 環の概念が存在する[3]。 正標数の半単純 Lie 環は restricted Lie 環の代表例である。 Lie 環の一般論をここで繰り広げるわけにはいかぬだろうから、 無理矢理に次のようにまとめておこう。

THEOREM 4.7   正標数の体 $k$ 上の半単純 Lie 環 $\gee _k$ の Killing form は非退化であって、 任意の $A\in \gee _k$ にたいして、

$$\ad (A)^p(B)=[A^{[p]},B] \qquad (\forall B \in \gee _k)$$

をみたす $A^{[p]}\in \gee _k$ が唯一つ存在する。普遍包絡環の中で言えば、 このことは、

$$[A^p,B]=[A^{[p]},B] \qquad (\forall B \in \gee _k)$$

を意味する。

$\qedsymbol$

今の場合、 $p$ が $\gee$ の構造定数(や分母に現れる数) よりも十分大きいという仮定のもとで、

$$h_i^{[p]}=h_i \quad (i=1,\dots,\ell), \qquad n_j^{[p]}=0 \quad (j=1,\dots,s)$$

がわかる。したがって、普遍包絡環には

$$h_i^p- h_i \quad (i=1,\dots,\ell),\qquad n_j^p \quad (j=1,\dots,s)$$ (＊)

なる中心元があることがわかる。

注意

普遍包絡環にはもっとたくさん中心元がある。casimir 作用素はその 代表的なものであるし、一般的に、標数 0 の半単純リー環 $\gee$ の ランク(Cartan sub algebra の次数)を $r$ とすると、 $\gee$ の普遍包絡環の中心 $\mathfrak{Z}$ は $r$ 変数の多項式環である。 (記号 $\mathfrak{Z}$ は[2] の 23.3 の証明のところのものと 同一である。そこの所論と、Coxeter 群の一般論を用いれば $\mathfrak{Z}$ が 多項式環であることがわかる。) したがって、 $\mathfrak{Z}$ の元を modulo $p$ に落としたものが $\gee _k$ のほうにも出てくることになる。

Poincare-Birkoff-Witt の定理により、(＊)の元は $k$ 上独立である。 したがって、(＊)で生成される可換環

$$R_k=k[\{ h_i^p- h_i \quad (i=1,\dots,\ell),\qquad n_j^p \quad (j=1,\dots, s) \} ]$$

は多項式環であることがわかる。 そして $\mathfrak{U}(\gee _{k})$ はこの多項式環 上の有限生成自由加群と見ることができる。

$R_k$ は生成元の取り方に依存していそうに見えるが実はそうではない。 このことを見るために、 $\gee _k$ から $\mathfrak{U}(\gee _k)$ への 写像 $\varphi$ を

$$\varphi(x)= x^p - x^{[p]}$$

で定義しよう。restricted Lie 環の定義から、簡単に 次の補題を示すことができる。

LEMMA 4.8   $\varphi$ は $p$-semilinear である。 すなわち、

$$\varphi(c_1 x_1 +c_2 x_2)=c_1^p \varphi(x_1) +c_2^p \varphi(x_2) \qquad c_1,c_2 \in k , x_1,x_2 \in \gee _k$$

である。

PROOF.. 実際、

$$(X+Y)^p=X^p+Y^p+\sum_{i=1}^{p-1} s_i(X,Y)$$

$$(X+Y)^{[p]}=X^{[p]}+Y^{[p]}+\sum_{i=1}^{p-1} s_i(X,Y)$$

が成り立つからである。 記号を含めた詳細は [4] の V章を参照のこと。そこの記号でいうと、 一番目の式は (63)式。 二番目の式は $a^{[p]}$ の 定義 definition 4.1(ii)である。 $\qedsymbol$

$R_k$ は $\varphi$ の像で生成される 可換環である。上記 Poincare-Birkoff-Witt の定理による議論は、$\varphi$ が単射であることを示している。 とくに、 $\Spec (R_k)$ は $\gee$ のベクトル空間としての双対空間 $\gee ^*$ (を Frobenius 写像によってひねったもの)と標準的に同型である。

$\mathfrak{U}(\gee _{\F _p})$ はその上の $\mathcal O$-coherent な algebra sheaf であって、 $\mathcal O$-加群としては locally free である。 標準ファイバーは [3] で「 $\gee$ の u-algebra」と呼ばれているもの になる。

こうして、 $\mathfrak{U} (\gee )$ には $\gee ^*$ が対応するという、 表面上は至極当然な結論にたどり着く。 ただし、上述のalgebra sheaf の存在など、 面白い構造が更につけ加わっているとことが興味深い。

後記: この小節の内容はオリジナルではあるが、実は math.RT/0401002 などに同様の記述があることがあとでわかった。 (京大の望月拓郎先生の御指摘による。)

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