余談:Ultra filter の言い換え

ultra filter の議論は不慣れだが、代数幾何は得意な方には、 次のような言い換えはいかがだろうか。

LEMMA 2.5   集合 $X$ に離散位相を入れて位相空間と考え、その上の複素数値有界関数全体を $C_b(X)$ とかくことにする。$C_b(X)$ には各点での演算で環($C^*$-環)の 構造が入る。さらに、$C_b(X)$ の極大イデアル全体 $Y=\Spm (C_b(X))$ には、 $C_b(X)$ の各元を連続にするような最弱な位相を入れておく。 このとき、次の5つのものは同等である。

1. $Y$ の点(すなわち、$C_b(X)$ の極大イデアル)
2. $C_b(X)$ から $\C$ への $\C$-代数としての準同型 $\varphi$
3. $C_b(X)$ から $\C$ への $*$-環準同型
4. $X$ の最大コンパクト化(Stone-Cechコンパクト化)の点
5. $X$ の ultra filter

こう言い換えてみると ultra filter は $X$ の最大コンパクト化の元で、 principal ultra filter はそのうち $X$ のもともとの元。 non-principal ultra filter のほうは $X$ の``理想境界'' の元であると見ることができて、 若干見やすく感じられると思うのだが、いかがだろう。

上の補題の証明は本題とは全く関係ないのだが、適当な参考文献が 見当たらないので一応つけておこう。 (この補題が知られていないと言う意味ではない。それどころかいまでは wikipedia (誰でも書き込めるweb 上の百科事典。 URL は http://en.wikipedia.org/wiki/ ) にも本質的な部分は載っているぐらいに有名である。) とくに興味がある方を除いては 次の小節までスキップすることをお勧めする。

PROOF.. (2) のデータ $\varphi$ から (1)を作るのは $\varphi$ の 核を考えればよい。(代数幾何の方には説明を要しないであろう。)

$C_b(X)$ は可換 $C^*$-代数(とくにBanach 環)であり、その極大イデアル $\mathfrak{M}$は 必ず閉じている( $\mathfrak{M}$ の閉包も $C_b(X)$ の イデアルであるから。)。とくに、 $C_b(X)/\mathfrak{M}$ は Banach 環で、 かつ、体である。そのようなものは $\C$ しかない。(Gelfand-Mazur の定理。 代数幾何における 零点定理の $C^*$-代数版と言っても (言っている人は見たことがないが、)よかろう。) ゆえに、(3)のデータが得られる。このことから (1)-(3)の同等性は 明白だろう。

(4) と(1) の同等性を示そう。 $X$ からコンパクトハウスドルフ集合 $K$ への連続写像 $\phi$ が 与えられているとする。 $K$ 上の複素数値連続関数全体のなす環 $C(K)$ から任意に $f$ をとると、 $f$ は(コンパクト集合上の連続関数であるから)有界で、その $\phi$ による 引き戻し $\phi^*(f)$ も 当然有界である。したがって、

$$\phi^* : C(K) \to C_b(X)$$

なる $*$-環準同型が定まることがわかる。$C^*$-環の世界ではよく知られているように $C(K)$ の極大イデアル全体は $K$ と同一視できる(Stone-Weierstass の定理: コンパクトハウスドルフ集合は $C^*$-環の世界ではアファインなのだ。) ので、

$$Y=\Spm (C_b(X)) \to K$$

なる連続写像が定まる。このことは $Y$ が「普遍性」を持つことを示しており、 $Y$ が「最大コンパクト化」であることが知れる。

(5) のデータ、すなわち $X$ の ultra filter $\mathcal U$ から (3)のデータを作ろう。 $C_b(X)$ の元 $f$ を任意にとる。$f$ に対してその 「 $\mathcal U$ での 値」(極限) を定める必要があるわけだが、それには「区間縮小法」を用いる。 $f$ は有界であるから、ある $K>0$ があって、

$$f(X) \in D_K=\{z\in \C ; \vert z\vert\leq K\}$$

が言える。$D_K$ は半径 $K$ の複素円盤である。 いま、任意の $\epsilon>0$ にたいして、$D_K$ を直径 $\epsilon$ 以下の集合有限個 $B_1,\dots,B_N$ の和でもって、

$$D_K = B_1 \cup B_2\cup \dots B_N$$

と覆うと、

$$X=\bigcup_{j=1}^N f^{-1}(B_j)$$   disjoint union

となり、ultra filter の性質から、ある $j$ があって、

$$f^{-1} (B_j) \in \mathcal U$$

がわかる。この $j$ にたいして $f^{-1}(B_j)$ のことを $U$ と書くと、 $U\in \mathcal U$ で、なおかつ $f(U)$ の直径は $\epsilon$ 以下、すなわち、 $f(\mathcal U)$ は 「コーシーフィルター」であることがわかる。 $\C$ はもちろん完備距離空間 であるから、 $f(\mathcal U)$ は一つ(唯一つ)の元 $c_f\in \C$ に収束する。

$$f \mapsto c_f$$

が求める $*$-環準同型である。 $\qedsymbol$