代数学 II 要約 No.12

補題 12.1   $k$ は 無限個の元を含む体であるとする。 $k$ 上代数的な元 $\alpha,\beta$ が与えられていて、$\alpha$ は $k$ 上 分離的であったとする。このとき、

1.

$k[\alpha]$ の元はすべて $k$ 上分離的である。

2.

ある $c\in k$ が存在して、 $k[c\alpha+\beta]=k[\alpha,\beta]$ がなりたつ。

3.

さらに $\beta$ も $k$ 上分離的であるとする。 このとき上の $c$ にたいして $\gamma=c\alpha+\beta$ とおくと、 $\gamma$ は $k$ 上分離的である。

上の補題の $c$ の選びかた。

$\alpha$ の $k$ 上の共役を $\alpha=\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_l$とし、 $\beta$ の $k$ 上の共役を $\beta=\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_m$とするとき、$c$ は、

$$\frac{\beta_j-\beta}{\alpha_i-\alpha} \quad(i=2,3,\dots,l; \quad j=1,2,3,\dots,m)$$

のどれとも異るように選べばよい。

定理 12.1   体 $k$ およびその拡大体 $L$ が与えられているとする。 このとき、

$$\{x\in L; \text{$x$ は $k$ 上分離的である。}\}$$

は $k$ を含む $L$ の部分体である。

定義 12.1   体 $k$ の有限次拡大体 $L$ が与えられているとする。 $L$ のどの元 $x$ も $k$ 上分離的であるとき、 $L$ は $k$ の分離拡大体であるという。

定理 12.2   体 $k$ と、その有限次代数拡大体 $L=k[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n]$が与えられているとする。このとき、$L$ が $k$ の分離拡大体であるための 必要十分条件は、 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ がすべて $k$ 上 分離的であることである。

定理 12.3   無限個の元をもつ体 $k$ の有限次分離拡大体 $L$ は必ず単純拡大体である。

正規拡大で、かつ分離拡大であるものを、ガロア拡大という。

定理 12.4   体 $k$ と、その有限次ガロア拡大体 $L$ が与えられているとする。 このとき、

$$\char93 \operatorname{Aut}_k(L)=[L:k]$$

がなりたつ。

(注意)

一般に、$L$ が $k$ の単純拡大ならば、

$$\char93 \operatorname{Aut}_k(L)\leq [L:k]$$

が成り立つのであった(定理 8.1)。 実は、この不等式は $L$ が $k$ の単純拡大でなくとも、いつでも成り立つ。 問題12.3を参照のこと

問題 12.1   $\alpha=\sqrt{5+\sqrt{2}}$ とおく。このとき、

1.

$f(\alpha)=0$ となるモニックな4次式 $f\in \mbox{${\Bbb Q}$ }[X]$ を一つ与えなさい。

2.

上の多項式 $f$ の根を全て求めなさい。

3.

$\alpha$ は $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ の元ではないことを示しなさい。 (ヒント:もし、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$ の元 $\beta$で、 $\beta^2=5+\sqrt{2}$ となるものが あったとすると、 $\sqrt{23}\in \mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$.)

4.

$\mbox{${\Bbb Q}$ }[\alpha]$ を部分体として含む $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ のガロア拡大は、 かならず $M=\mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2},\sqrt{23}]$ を部分体として含むことを示しなさい。

5.

$\alpha$ は $M$ には属さないことを示しなさい。 (ヒント: $M$ の元はかならず $x+y \sqrt{23}$ ( $x,y\in \mbox{${\Bbb Q}$ }[\sqrt{2}]$) と書くことができる。それを二乗して $5+\sqrt{2}$ になることがあるかどうか、たしかめよ。)

6.

$\mbox{${\Bbb Q}$ }[\alpha]$ を含む $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ の最小のガロア拡大はなにか。

問題 12.2   ${\Bbb F}_p$ と、その $n$ 次代数拡大 $L$ が与えられたとする。 このとき、

1.

$\operatorname{Aut}_{{\Bbb F}_p}(L)$ の位数を求めよ。

2.

フロベニウス写像 $F$ の位数を求めよ。

3.

$\operatorname{Aut}_{{\Bbb F}_p}(L)$ の群構造を決定せよ。

問題 12.3   体 $k$ とその代数拡大体 $L$ が与えられているとする。このとき、

1.

$$M=\{x\in L; \exists l\in {\mbox{${\Bbb Z}$}}s.t. x^{p^l}\in k\}$$

は $k$ を部分体として含む含む $L$ の部分体であることを示しなさい。

2.

任意の $f \in \operatorname{Aut}_k(L)$ にたいして、$f\vert M=id$ であることを示しなさい。

3.

$L$ は $M$ 上の分離拡大であることを示しなさい。

4.

$L$ は $M$ の単純拡大であること(No. 11 と問題11.3を参照のこと)を利用して、 不等式 $\char93 \operatorname{Aut}_k(L)\leq [M:k] \leq [L:k]$ がなりたつことを示しなさい。 (ヒント:No.8も参照のこと)

問題 12.4   $k$ の有限次拡大体 $L$ が、

$$\char93 \operatorname{Aut}_k(L)=[L:k]$$

をみたすならば、$L$ は $k$ のガロア拡大であることを示しなさい。