代数学特論 II 要約 No.6

今日のテーマ:

体 $K$ が与えられているとき、正の整数 $n$ に対して $K$ のなかで $K$ の単位元 $1_K$ の $n$ 個の和

$$n_K=(1_K+\dots+1_K) \quad (\text{$n$ 個の和})$$

を考える。 $n_K$ は誤解の恐れのない時には単に $n$ と書かれる。 注意すべきなのは、整数として $n\neq 0$ でも $n_K\neq 0$ とは限らないこと である。

定義 6.1   $K$ に対して、 $n_K=0$ となる最小の正の整数が存在すれば、それを $\operatorname{char}K$ と書き、体 $K$ の標数と呼ぶ。 そのような整数が存在しない場合には $\operatorname{char}K=0$ と定義する。

例   素数 $p$ に対して、 ${\mbox{${\Bbb Z}$ }}/p{\mbox{${\Bbb Z}$ }}$ は体であり、その標数は $p$ である。 $\mbox{${\Bbb Q}$ },\mbox{${\Bbb R}$ },{\Bbb C}$ など、 $\mbox{${\Bbb Q}$ }$ を部分体として含む体は標数 $0$ である。

補題 6.1   体の標数は必ず素数かまたは $0$ である。

つぎの補題は標数 $0$ の有限次代数拡大に対しては必ず前回、前々回述べたような 扱いが可能であることを示している。

補題 6.2   体 $K$ の標数が $0$ ならば、$K$ の任意の有限次代数拡大 $L$ は 単純拡大である。

次の補題は扱っている体に関係なく成り立つが、 ${\Bbb C}$ 上の代数多様体の関数体の場合には幾何学的に理解できる。

補題 6.3   $K\subset M\subset L$ を満たす三つの体 $K,M,L$ が 与えられているとき、等式

$$[L:K]=[L:M][M:K]$$

がなりたつ。

問題 6.1   $L={\Bbb C}(X,Y,Z), K={\Bbb C}(X+Y+Z,XY+YZ+ZX,XYZ)$ とする。このとき、

1.

$X$ の $K$ 上の最小多項式を求めなさい。

2.

$M=K(X)$ とおくとき、 $[L:M], [M:K]$ をそれぞれ求めなさい。

問題 6.2   上の問題で、$L=K(X+cY)$ となるような $c\in {\Bbb C}$ の例を (補題6.2 の証明を参考に)一つあげなさい。