行列の列基本変形

ここまでくれば、行列の列基本変形を理解するのはたやすい。

ここでは簡単のため $4\times 4$-行列を扱うが、サイズが変わっても同様である。

$$P= \begin{pmatrix} 1& 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}=(e_1\ e_1+e_2\ e_3\ e_4)$$

四次元縦ベクトル $v_1,v_2,v_3,v_4$ を並べた行列

$$A=(v_1\ v_2\ v_3\ v_4)$$

にたいして、 $AP$ の列ベクトルがどうなるか見てみよう。そのまま計算してもたいしたことは ないが、やはり基本ベクトルの行き先を見たほうが楽である。 $e_1,e_3,e_4$ の行き先はやさしい。

$$e_1 \overset{P\times }{\mapsto} e_1 \overset{A\times}{\mapsto} v_1$$

$$e_3 \overset{P\times }{\mapsto} e_3 \overset{A\times}{\mapsto} v_3$$

$$e_4 \overset{P\times }{\mapsto} e_4 \overset{A\times}{\mapsto} v_4$$

$e_2$ の行き先だけが $P$ によって味付けされる。

$$e_2 \overset{P\times }{\mapsto} e_1+e_2 \overset{A\times}{\mapsto} v_1+v_2$$

つまり、

$$AP=(v_1\ v_1+v_2\ v_3\ v_4)$$

となって、$AP$ は $A$ の二列目だけを(二列目+一列目)に変更した 行列になっている。

このように、行列の基本変形が、$P$ のような行列による かけ算と対応していることが大切である。

このことを参考にしながら、教科書の列基本変形の項を読んでみよう。