実数の集合の例、上限、上界

定義 1.3 (``1.1.3'')   実数 $a,b$ について、閉区間 $[a,b]$ と開区間 $(a,b)$ を つぎの式で定める。

$$[a,b] =\{x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a\leq x \leq b\}$$

$$(a,b) =\{x \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \vert a < x < b\}$$

◎ $[a,b]$ には端点があって、そこでのようすは $[a,b]$ のほかの点の ようすと大きく異っている。それに対して、$(a,b)$ の各点はどの点も似ている。

定義 1.4 (``1.1.2'')   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $A$ が与えられているとする。 このとき

1. $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が $A$ の上界 (upper bound)であるとは、
   $$\forall x\in A (x\leq a)$$
   (つまり、どの $x\in A$ をもってきても $x\leq a$ ) が成り立つときに言う。
2. $a\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が $A$ の上限(supremum)であるとは、 $A$ の上界のうち最小のものをいう。

◎ 集合の上界は存在するとは限らない。 また、上界が存在したとすると、それはいくつもある。

例 1.5   $T=\{$土佐電鉄の運賃$\}=\{100,180,190,260,340,380,400,440,470,500\}$ とおく。このとき、

1. $T$ の上界としては、$1000$ がある。これは 「土佐電鉄に乗るときは1000円あればお金が足りないことはない」ことを 意味している。
2. $T$ の上界としては、他にも 500, 一万、十万、$951.777..$ 等がある。
3. $T$ の上限は $500$ である。

例 1.6 (最大値を持たないが上限を持つ集合たち)  

1. $\{\frac{n-1}{n}; n=1,2,3,\dots\}$ は上限 $1$ をもつ。
2. $\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$$; x<2\}$ は上限 $2$ を持つ。
3. $\{x\in$   $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$$; x^2<2\}$ は上限 $\sqrt{2}$ を持つ。

定義 1.7 (``1.1.2'')   集合 $A\subset$   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が上に有界であるとは、 $A$ が上界を少なくとも一つもつときに言う。

次の定理は実数の基本的な性質である。次回以降詳しく解説する。

定理 1.8 (``定理1.1'')   $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ の部分集合 $A$ で、上に有界なものは、必ず上限を唯一つもつ。

例題 1.9  

$$S=\{ x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$; x^3-25 x <0\}$$

は上界をもつだろうか、 もつ場合には上界を一つ挙げてその理由を説明し、 もたない場合にはもたないことの理由を説明せよ。

(解答)

$$S=(-\infty,-5) \cup (0,5)$$

である。 したがって、 $S$ は上界 $10$ をもち、上に有界である。

上界は一つ挙げれば十分である。上の例題なら $5$ (上限) でも良いし、 $100$ でもよい。下の「問題」のように $S$ が具体的に分かりにくい場合には、 つぎのような別解が参考になる。

(別解) まず、$M=100$ とおくと、$S$ の元 $s$ は $s\leq M$ を満たす。 なぜなら、もし $s>M$ なる $s\in S$ が存在したとすると、

$$s^3-25 s = s^2 \cdot s -25 s >10000 \cdot s -25 \cdot s =9975 s >0$$

となって、これは $s\in S$ に反する。

したがって、$S$ のどの元も、$M$ 以下である。 すなわち、$M$ は $S$ の上界の一つである。

旅行に行くとき、かかる旅費をキッチリ計算して、その分のお金しか 持って行かない人は少なかろう。「大体△万円あれば十分」とか 見積もる。これが上界の考え方。

問題 1.1  

$$S=\{ x\in$$   $$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$; x^4-2 x^3+3 x^2+4 x -5<0\}$$

は上界をもつだろうか、 もつ場合には上界を一つ挙げてその理由を説明し、 もたない場合にはもたないことの理由を説明せよ。