不分岐の場合

基本的には、穴のまわりを「何回まわるか」、が 大事になります。

$L$ を $\mathbb{Q}$ のガロア拡大、 $\mathcal{O}_L$ をその整数環、 $\mathfrak{p}$ を $\mathcal{O}_L$ の 0 でない素イデアルとします。 $\mathcal{O}_L/\mathfrak{p}$ の標数を $p$ とおきます。

1. $F:\mathcal{O}_L/\mathfrak{p}\ni x \mapsto x^p \in \mathcal{O}_L/\mathfrak{p}$ は体の同型である。
2. $F$ は $\mathcal{O}_L$ の $\mathfrak{p}$-進完備化 $\widehat{(\mathcal{O}_L)_\mathfrak{p}}$ の同型を誘導する。 これを以下仮に $\hat F$ と書くことにする。
3. $\mathcal{O}_L$ は $\widehat{(\mathcal{O}_L)_\mathfrak{p}}$ の中の $\mathbb{Z}$ の整閉包であるから、 $\hat F$ で保たれる。すなわち $\hat F$ は $\mathcal{O}_L$ の同型を誘導する。 これを以下仮に $F_{\mathcal{O}_L}$ と書くことにする。
4. 不分岐の場合、 $F_{\mathcal{O}_L}$ は $\mathcal{O}_L$ の商体 $L$ の自己同型を誘導する。 これを以下仮に $F$ と書くことにする。

まとめると、 $L,\mathfrak{p}$ が与えられると、$L$ の自己同型が与えられることになります。 この自己同型を

$$\left(\frac{L/\mathbb{Q}}{\mathfrak{p}} \right)$$

と書くことにします。(Artin 記号)