分岐の場合も込めての状況

$p$ で「中途半端にまわる」のも込めてまわる様子を記述するのが 局所類体論です。まわる様子を記述するのが Artin map

$$\alpha_p: \mathbb{Q}_p^\times \to \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}_p^{\text{ab}}/\mathbb{Q}_p)$$

で、「何回まわるか」と「中途半端さの度合いは」という問いに対して $\mathbb{Q}_p^\times$ の元で答えます。 以下、岩沢健吉「局所類体論」に沿っています。 (記号を無理やり合わせようとしているため、 他のところと整合性がとれていません。)

$k$ を、標数 0、剰余体の標数が $p>0$ であるような局所体であるとする。

$k$ の素元 $\pi$ ( $\mathcal{O}_k$ の素元) に対して、次のような $\psi=\psi_\pi\in \operatorname{Gal}(k_{\operatorname{ab}}/k)$ が一意的に存在する。

[

l]$\psi_\pi$の定義

• $\psi\vert _{k_{\operatorname{ur}}}=\Frob$.
• $\pi \in N(F_\psi/k)$. $N(F_\pi/k)$ はノルム群というやつで、
  $$N(F/k)=\bigcap_{F\supset k'\supset k} N_{k'/k}(k'^\times).$$
  ($F$ の部分体で $k$ の有限次拡大ｔ体 であるような $k'$ に関する共通部分。)

補題 6.1   群準同型 $\alpha:k^\times \to \operatorname{Gal}(k_{\operatorname{ab}}/k)$ で、任意の素元 $\pi\in k$ に対して $\alpha(\pi)=\psi_\pi$を満たすものが一意に存 在する。 $\alpha$ を (local) Artin map と呼ぶ。

$k^\times$ の元 $x$ は $x=u \pi^l$ $(\exists l \in \mathbb{Z}, \exists u \in \mathcal{O}_K^\times)$ と書かれることに注意します。 $u$ を一つの $\pi$ におっつけて $x=u \pi^l=(u\pi) \pi^{l-1}$ と書きますと、 $\pi'=u\pi$ も素元であって、

$$\alpha(x)=\psi_{\pi'}\psi_\pi^{l-1}$$

と表されます。 $\psi_{\pi'}$ や $\psi_\pi$ は $k_{\operatorname{ur}}$ に 制限すると「一回まわる」(Frobenius 写像)に相当しますから、 $\alpha(x)$ は「$l$ 回まわる」のに「イロ(尾ひれ)を付けた」 ようなものだとわかります。