Contents

• この稿全体の問題: $x^p \pmod p$ を求めよ
• $x=n$ が整数のとき
  • 素数か否かの粗い判定法
  • Carmichael 数
  • 高速冪乗
  • 問題
  • 素数判定法
  
  
• 剰余環と有限体 $\mathbb{F}_p$
  • 剰余環
  • 体 $\mathbb{F}_p$
  
  
• $p$ 乗の和(可換な場合)
  • $p$乗の和(可換な場合)
  • 二項係数の話から
  • Fermatの小定理の証明
  • 系
  
  
• $\alpha$ が代数的数のとき。
  • 代数的数、代数的整数
  • .
  
  
• 余談: 代数体の自己同型としてのFrobenius写像etc
  • アナロジー:リーマン面の基本群、被覆群
  • 類体論というエエトコ取り
  • 局所類体論
  • 素数全体に渡るはなしと積公式
  • アバウトな話
  • 例
  
  
• 行列 $A\in M_n(\mathbb{Q})$ にたいして
• $p$乗の和(非可換の場合:Jacobson の公式)
  • 微分と積分
  • Jacobson の公式
  • 証明とvariant
  
  
• $p$-curvature
  • $r=1$のとき、
  • $r$:一般,可換な場合
  • $r$:一般、可換とは限らない場合
  
  
• Weyl 環の元
• Hochshild-Serre の公式