微分と積分

環上の一変数多項式環 $A[T]$ の元

$$f(T)=\sum_j a_j T^j$$

にたいして、その $T$ に関する微分 $(d/dT) f(T)$ を

$$(d/dT)f(T)=\sum_j j a_j T^{j-1}$$

で定義する。

$$f(T)=\sum_j a_j T^j$$

のうち、次の条件を満たすものを考える。

$$\forall j (a_j \neq 0 \implies j+1$$    は $$A$$    で 可逆$$) \tag{$I_0$}$$

このとき、

$$\int f(T) d T=\sum _j \frac{1}{j+1} a_j T^{j+1}$$

と定義する。定積分なども同様に、定義される範囲で実数体上の積分と おなじ式で定義する。