Hochshild-Serre の公式

命題 11.1   $A$ :標数 $p$ の可換環, $D\in \operatorname{Der}(A), a\in A$ ならば、

$$(aD)^p=a^p D^p + (aD)^{p-1}(a)\cdot D$$

証明は松村英之著「可換環論」(共立出版)の「導分と微分」の章(section 25, 定理25.5)を参照のこと。

注意:上の命題は $A$ が非可換では無条件で正しくはない。

例えば $p=3$ なら、

$$(aD)^3 =aDaDaD$$

$$=a (a D+a')(aD+a')D$$

$$=a (aD aD + aD a'+ a' aD + a'^2) D$$

$$=a (a(aD+a')D + aa' D + aa''+ a' a D +a'^2) D$$

$$= a(a^2 D^2 + a a' D + a a' D + a a'' + a' a D +aa' a') D.$$