Weyl 環の元

命題 10.1   $[\eta,\xi]=1$ なる元 $\xi,\eta$ を考える。

$$(\eta (a \xi \eta+b))^p= \eta^p (a^p\xi^p \eta^p +b^p -b a^{p-1})$$

$\theta=\xi\eta$ に対して、

$$(\eta(a\theta+b))^p= \eta^p(a\theta+b)(a(\theta+1)+b)\dots (a(\theta+(p-1))+b)$$

であり、

$$(a \theta+b) (a (\theta+1)+b) (a (\theta+2)+b) \dots (a (\theta+(p-1))+b)$$

$$= a^p \cdot \theta_1 (\theta_1+1) (\the... ...heta_1+(p-1)) \qquad \hfill (\theta_1\overset{\operatorname{def}}{=}\theta+b/a)$$

$$= a^p(\theta_1^p-\theta_1) \qquad ( \mathbb{F}_p )$$

$$= a^p( \theta_1^p + b^p/a^p - b/a)$$

$$= a^p(\theta^p-\theta) + b^p -b a^{p-1}$$

$$= a^p (\xi^p \eta^p) + b^p -b a^{p-1}$$