指数や対数の値を比較するには

筆者も受験のころには変な値も覚えさせられたもので、

$$\log_{10}(2)=0.3010...$$

なんていうのも覚えた。 でも、もし、例えば、《 $\log_{10}(2)$ の値を小数第１位まで計算せよ》 という問題が試験に出たとしたら、「覚えているから、これでいーのだ。」 などという理屈は通用しそうにない。

$$0.3=3/10<\log_{10}(2)<1/3=0.3333\dots$$

ということを示せば、とりあえず小数第一位までは求まったことになる。 では $3/10<\log_{10}(2)$ を示すには？ ここまで来ればもうお分かりだろう。 $\log_{10}(x)$ は $x$ について単調増加 だから、

$$10^{3/10}<2$$

を示せば良い。さらにこれを示すには、両辺十乗して、

$$10^3<2^{10}$$

に帰着すればいい。 ということで、解答は次のようになる。

(解答)

$$10^3=1000<1024=2^{10},\quad 2^3=8<10$$

だから、辺々の $\log_{10}$ をとって、

$$3<10\log(2), \quad 3\log(2)<1$$

ゆえに、 $3/10<\log(2)<1/3$....

結局、指数や対数の定義に戻れば、それなりに計算できるということ。 本節に出て来る話の、特に大きさの評価に関する部分もこのようにして 理解することができる。