正標数のWeyl 環の自己準同型

標数 $p>0$ の体 $k$ を考える。 簡単のため、$k$ は完全体であると仮定しよう。 Weyl 環の$k$-代数としての自己準同型があると、 それは中心 $Z_n(k)$ の $k$-代数自己準同型を定める。 (このことは自明ではない。 詳しくは [6]に 書いたのでそちらを御参照頂きたい。) さらに、$Z_n(k)$ の「$p$-乗根」を

$$S_n(k)=k[T_1,T_2,\dots,T_n,U_1,U_2,\dots,U_n] \qquad T_i=(\xi_i^p)^{1/p} ,U_j=(\eta_j^p)^{1/p}$$

とすると、$S_n(k)$ 上の $n$-次元(自明)ベクトル束の接続 $\nabla$ を $A_n(k)$ から定めることが できる。 次の命題が成り立つ。

PROPOSITION 4.2   [7] $k$ は標数 $p>0$ の体であるとする。 $\phi:A_n\to A_n$ なる $k$-代数準同型が与えられているとする。 $f: \Spec S_n \to \Spec S_n$ を $\phi$ に付随して決まる morphism とする。 $G$ で「ゲージ変換」をあらわすと、 つぎのような等式が成り立つ。

$$G (f^*\nabla) G^{-1}=\nabla+\omega$$ (4.1)

ここに、 $\omega=\sum_{i=1}^n(\omega_{T_i} d T_i+\omega_{U_i} d U_i)$ はつぎの微分方程式の一意的な解である。

$$\left. \begin{aligned}&\omega_{T_i}^p +(\partial/\partial T_i)^... ...}} {\partial U_i})=0 \end{aligned} \right\} \quad (i=1,2,\dots,n)$$

where $\overline {T_i}=\hat{\psi}(T_i)=f^*(T_i)$, $\overline {U_i}=\hat{\psi}(U_i)=f^*(U_i)$

上の命題で、 $\omega_{T_i}$ や $\omega_{U_i}$ となっているのは 「$\omega$ の $T_i$ や $U_i$ の偏微分」と言う意味ではない。 単に、$1$-形式 $\omega$ の成分を区別するための suffix である。 物理では時おり見掛けるが、すこしよくない記号だったかも知れない。 (かと言って他によい記号法は見当たらないようにも思える。)

上の命題の微分方程式が面白い微分方程式で、これは例えば $p=3,n=1$ で

$$\xi_1\mapsto \xi_1 \eta_1 \xi_1 , \eta_1 \mapsto \eta_1 \xi_1 \eta_1$$

で定まる $\phi$ についても使える。 実はこの $\phi$ に対する $f$ は etale ではなく、上の微分方程式を得る前には このような例がどのぐらいあるのかわからなかった。

微分方程式が得られたあとでは、次数の関係を吟味することにより、 $\phi$ の(多項式としての)次数が $p$ より十分小さければ、$f$ は etale で、 なおかつ 接続 $\nabla$ は保存される。 すなわち、Weyl 環にたいして $\nabla$ を対応させるやり方は、$p>>0$ なら 「標準的」であると言ってよい。 この 接続 の曲率は

$$d T_1 \wedge d U_1 +d T_2 \wedge d U_2 +\dots + d T_n \wedge d U_n$$

である。