実ベクトル空間の例:数ベクトル空間。

正の数 $d$ に対して、

$$V_d= \left\{ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3\\ \vdots \\ \\ a_d \\ \end{pmatrix}; a_1,a_2,a_3,\dots a_d \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$$

は実ベクトル空間である。コーヒベクトル空間はこの例の $d=4$ の場合と 見ることができるし、そのほかにもスキヤキベクトル空間、寄せ鍋ベクトル空間、 などなど、この例をもとにした「お伽話」はいくらでも工夫して作れそうである。 各自やってみるとよい。

実数の全体 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ も、通常の和と実数倍によって、実ベクトル空間になっている ことに注意しておこう。これは ($(x)$ と $x$ とを同一視することによって、) 上の例の $d=1$ の場合と見ることもできる。