実ベクトル空間でないものの例

次のようなものはどれも実ベクトル空間ではない。

成分が正の実数であるような2次元ベクトルの全体

$$\left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}; a,b \in \mbox{${\mathbb{R}}$}, a \geq 0, b\geq 0 \right\}$$

成分が整数であるような2次元ベクトルの全体

$$\left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}; a,b \in {\mbox{${\mathbb{Z}}$}} \right\}$$

第一成分が有理数、第二成分が実数であるような2次元ベクトルの全体

$$\left\{ \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}; a \in \mbox{${\mathbb{Q}}$},b \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$$

それぞれなぜ実ベクトル空間でないのか考えてみるとよい。 二次元平面上で、それぞれのベクトル空間の全体がどのような部分を 占めているかについても少し想像してみよう。

その他にも、「ベクトル空間になりそうで、そうでないもの」の例を 幾つかあげてみると、理解が深まる。