行列の積は可換ではない。

(これはテクニックと言うより、注意である。)

(同じサイズの)正方行列同士を足したり、引いたり、掛けたりできるのは、 もうご存知であると思うが、なんでも数の計算と同じようにいくと思っていると、 思わぬ間違いを招く。

$$AB=CA$$

から $B=C$ を結論する学生は、少ないがやはり存在するようである。

とりあえず、これが成り立たない例を複数知っておくとよい。

• $A=0$ の場合。 これはまあ論外だろう。
• $A$ が正則でない場合。
  $$A= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix},B= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, C=0$$
  これも例外扱いすることもできるかも知れない。
• $A$ が正則でなおかつ $AB=CA$ だが、 $B\neq C$ の例。
  $$A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix},B= \begin{pm... ...& 0 \\ \end{pmatrix}, C= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix}.$$

最後の例では、 $C=A B A^{-1}$ を計算している。 もっと楽な例は、$A$ として置換行列を採用するとできる。

$$A= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix},B= \begin{pm... ...0 & 1 \\ \end{pmatrix}, C= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}.$$

この例では $A$ が互換 $(1 \ 2)$ に対応する置換行列になっている。 したがって $A^{-1}$ は $A$ 自身である。 あとは($e_1,e_2$ の行き先に注意すれば、) メノコで $ABA^{-1}=C$ が確認できるはずである。