系

系 4.3   $\mathbb{F}_p$ 上の環の元 $a,b$ が可換ならば、 $\mathbb{F}_p$ 上で

$$(a-b)^{p-1}=\sum_{j=0}^{p-1} a^j b^{p-1-j}$$

証明. まず多項式環 $\mathbb{F}_p[T,U]$ 上で考えよう。$T,U$ は不定元である。

$$T^p-U^p= (T-U)^{p}$$

ゆえに

$$(T-U)^{p-1}=\frac{T^p-U^p}{T-U}=\sum_{j=0}^{p-1} T^j U^{p-1-j}$$

一般の場合はこの特殊化として得られる。 $\qedsymbol$

この手の議論は代数ではよく行われます。まず零因子をもたない環 (多項式環などがその典型)で等式を証明し、手に入れた等式に 一般の元を代入(特殊化)することで一般の場合の証明ができるという 寸法です。