Fermatの小定理の証明

$$S=\{ x \in \mathbb{F}_p; x^p=x\}$$

とおきます。

つぎのことがわかります。

1. $1 \in S$.
2. $a,b \in S \implies a+b\in S$.

実際、(1)は当たり前ですし、(2)は前小節の内容からすぐに従うことです。

このことから、 $S=\mathbb{F}_p$. すなわち、任意の $x\in \mathbb{F}_p$ に対して、$x^p=x$ が わかります。

(ついでに $x\in \mathbb{F}_p$ が、$x\neq 0$ をみたすなら、$x^p=x$ の両辺を $x$ で割って、 $x^{p-1}=1$ が得られます。普通 Fermat の小定理 として知られているのはこっちでしょう。)