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$\alpha$ が代数的数、 すなわち、 $\alpha\in \mathcal{O}[1/d]$ ( $\mathcal{O}$ はある代数体 $K$ の整数環, $d$ は正の整数) のとき。 $u(X)$ を $\alpha$ の $\mathbb{Q}$ 上の(モニック)最小多項式にとります。 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ を $u$ の根としましょう。

$$r_{(p)}(X)=\sum_j \frac{u(X)\alpha_j^p}{(X-\alpha_j)u'(X)}$$

(Lagrange の補間式) とおけば、

$$X^p\equiv r_{(p)}(X) \pmod{u(X),p}$$

であって、

$$\alpha^p=r_{(p)}(\alpha)$$

です(“Kuroiwa理論”)

(見かけ上少しだけ)別の計算法もあります。 $\vert t\vert»0$ に対する展開

$$\frac{1}{u(t)} \frac{(u(x)-u(t)}{x-t} =\sum_{n=0}^\infty r_n(x) t^{-n-1}$$

を考えます。このとき、 素数 $p$ にたいして $r_p(x) \pmod p$ はうえの $r_{(p)}(x)$ と 一致します。