例

$L=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ のとき、 $\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id},\sigma_1\}$. $\mathbb{Q}^\times$ の元をイデール群の元と見て $\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ に 送ると $\operatorname{id}$ になるはずである。 $\mathbb{Q}^\times$ は素数と $-1$ とでで生成される(素因数分解の一意性) から、それらがどのように振る舞うかを見れば良い。

$p$ :$4k-1$ 型のとき

$2$ と $p$ とで一回づつまわる。

$p$ :$4k+1$ 型のとき

どの点でも回らない。

$p=2$ のとき

どの点でも回らない。

$p=-1$ のとき

$2$ と $\infty$ で一回づつまわる。

なお、$4k+1$ 型の点 $p$ は、 $p=a^2+b^2=N(a+b\sqrt{-1})$ となる $a,b\in \mathbb{Z}$ が存在するので、$p$ でまわる分は $\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ には効いてこない。