アバウトな話

$L/\mathbb{Q}$ をアーベル拡大とします。 ここに書いておきたいのは、次のような話です。 ( $\mathbb{Q}$ 上でなく、一般の代数体上の話ても、 あんまり変わらないが、とりあえずこうする。)

• 不分岐な素数 $p$ に対して 「$p$ で一回まわる」 $\Frob _p$ が定義される。
• 分岐する素数 $p$ では 「中途半端にまわる」ことがある。 これらを全部記述できるのが局所類体論。
• $\operatorname{Gal}(L/K)$ の元は どの $p$ で何回まわるか(中途半端にまわる場合も含む) で記述できる。それを記述するのがイデール群の元である。
• $\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ はアーベル群なので、回った順序は気にしなくて良い。
• 積公式は「回った様子」から Galois 群を得るときの関係式を与える。
• 全部ひっくるめて、 $\operatorname{Gal}(L/\mathbb{Q})$ の様子を記述するのが、 Artin の相互法則。